Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

MECHANIKA 2 Wykład Nr 10 MOMENT BEZWŁADNOŚCI. Definicja momentu bezwładności Momentem bezwładności punktu materialnego względem płaszczyzny, osi lub bieguna.

Podobne prezentacje


Prezentacja na temat: "MECHANIKA 2 Wykład Nr 10 MOMENT BEZWŁADNOŚCI. Definicja momentu bezwładności Momentem bezwładności punktu materialnego względem płaszczyzny, osi lub bieguna."— Zapis prezentacji:

1 MECHANIKA 2 Wykład Nr 10 MOMENT BEZWŁADNOŚCI

2 Definicja momentu bezwładności Momentem bezwładności punktu materialnego względem płaszczyzny, osi lub bieguna nazywamy iloczyn masy punktu przez kwadrat odległości tego punktu od danej płaszczyzny, osi lub bieguna: Jednostką jest

3

4 Momentem bezwładności układu punktów materialnych względem płaszczyzny, osi lub bieguna nazywamy sumę momentów bezwładności wszystkich punktów materialnych względem tej płaszczyzny, osi lub bieguna. Moment bezwładności układu punktów

5 Moment bezwładności układu ciągłego Momentem bezwładności układu ciągłego (linii, powierzchni lub bryły materialnej) względem przyjętej płaszczyzny, osi lub bieguna nazywamy całkę rozciągniętą na całą masę układu.

6 Promień bezwładności Po przekształceniu wzoru otrzymamy wzór na promień bezwładności

7 Masa zredukowana na odległość r Masę m red, którą należy skupić w odległości r od danej płaszczyzny, osi lub bieguna, aby jej moment bezwładności był równy I, nazywamy masą zredukowaną na daną odległość r. czyli

8 Geometryczny moment bezwładności Geometryczny moment bezwładności I (dla ciał jednorodnych) jest ilorazem masowego momentu bezwładności przez gęstość:

9 Moment bezwładności linii materialnej Po podstawieniu do równania Otrzymamy wzór na moment bezwładności linii materialnej Masy elementarnej w postaci: Gdzie:  l – jest gęstością liniową linii materialnej, kg/m

10 Geometryczny moment bezwładności linii materialnej

11 Przykład Wyznacz moment bezwładności cienkiego jednorodnego pręta o masie m i długości l względem osi Ox i osi centralnej Cx c. Pomijając wymiary poprzeczne pręta ( z = 0) otrzymujemy Moment bezwładności względem osi centralnej Cx c.

12 Moment powierzchni materialnej Po podstawieniu do wzoru Masy elementarnej w postaci: Otrzymamy wzór na moment bezwładności powierzchni materialnej Gdzie:  s – jest gęstością powierzchni materialnej, kg/m 2

13 Geometryczny moment powierzchni materialnej Jednostka J S – m 4

14 Moment bryły materialnej Po podstawieniu do wzoru Masy elementarnej w postaci: Otrzymamy wzór na moment bezwładności bryły materialnej Gdzie:  s – jest gęstością bryły materialnej, kg/m 3

15 Moment bezwładności względem płaszczyzny W układzie współrzędnych dany jest układ punktów materialnych o masach. Współrzędne masy oznaczymy. Momenty bezwładności względem płaszczyzn układu współrzędnych określają wzory:

16 Moment bezwładności względem osi Moment bezwładności względem bieguna

17 Związki pomiędzy momentami Suma momentów bezwładności względem dwóch płaszczyzn wzajemnie prostopadłych jest równa momentowi bezwładności względem osi pokrywającej się z krawędzią przecięcia się tych płaszczyzn. Momenty bezwładności względem płaszczyzn można wyrazić przez momenty osiowe:

18 Biegunowy moment bezwładności można wyrazić przez momenty osiowe Biegunowy moment bezwładności jest równy połowie sumy osiowych momentów bezwładności względem trzech prostopadłych osi przechodzących przez ten biegun. Związki pomiędzy momentami Biegunowy moment bezwładności możemy również wyrazić przez momenty względem płaszczyzn Moment biegunowy jest sumą momentów względem trzech prostopadłych płaszczyzn przechodzących przez dany biegun.

19 PRZYKŁAD 1 Wyznaczyć biegunowy moment bezwładności przekroju kołowego. r dr R Elementarne pole dA pier ś cienia o grubości d  jest równe

20 Po pominięciu  (d  ) 2 - wielkości ma ł ej wy ż szego rz ę du Po podstawieniu otrzymamy: Aby objąć całkowaniem cały obszar A, zmienna r powinna przybierać wartości od 0 do R: Biegunowy moment bezwładności przekroju kołowego względem jego środka wynosi: lub

21 PRZYKŁAD 2 Obliczyć geometryczny moment bezwładności prostokąta o wym. b i h względem osi x.

22 Lp. Przekrój Moment bezwładności Wskaźnik wytrzymałości Względem środka (osiowy) Względem osi zaznaczonej na rysunku

23

24

25 MOMENTY DEWIACJI Momentem dewiacji punktu materialnego względem płaszczyzn wzajemnie prostopadłych nazywamy iloczyn masy punktu przez odległości od danych płaszczyzn: Momenty zboczenia mogą być dodatnie, ujemne i, w szczególności, równe zeru.

26 MOMENTY DEWIACJI Momentem dewiacji układu punktów materialnych względem dwóch wzajemnie prostopadłych płaszczyzn a i b nazywamy sumę momentów dewiacji poszczególnych punktów materialnych względem tych płaszczyzn. Dla układu ciągłego rozciągnięta, na całą masę.

27 MOMENTY DEWIACJI W przestrzennym układzie współrzędnych układ punktów materialnych ma trzy momenty dewiacji: W płaskim układzie współrzędnych układ materialny ma jeden moment dewiacji

28 Geometryczny moment dewiacji jest równy ilorazowi masowego momentu dewiacji przez gęstość bryły. GEOMETRYCZNY MOMENT DEWIACJI

29 Transformacja równoległa momentów bezwładności Weźmy pod uwagę układ punktów materialnych i dwie równoległe osie l, s. Moment bezwładności względem osi l a względem osi s Pomiędzy odległościami i zachodzi zależność a

30 Po podstawieniu otrzymujemy czyli Założymy, że oś s przechodzi przez środek ciężkości układu materialnego, wtedy moment statyczny, jest równy zero i wzór przybiera postać: Transformacja równoległa momentów bezwładności

31 Moment bezwładności względem dowolnej osi jest równy momentowi względem osi równoległej przechodzącej przez środek ciężkości powiększonemu o iloczyn masy całkowitej układu przez kwadrat odległości obu osi. Iloczyn jest zawsze dodatni, stąd wniosek, że moment bezwładności względem prostej przechodzącej przez środek ciężkości układu jest najmniejszym ze wszystkich momentów względem prostych do niej równoległych. Transformacja równoległa momentów bezwładności

32 PRZYKŁAD Geometryczny moment bezwładności prostokąta względem poziomej osi x wynosi Obliczyć moment bezwładności względem podstawy. x

33 Przykład 1 Wyprowadź wzór na moment bezwładności półkola względem osi centralnej. R o z w i ą z a n i e: Moment bezwładności półkola względem osi z jest równy połowie momentu bezwładności całego koła Stosując wzór Steinera, mamy

34 Wyznaczymy moment dewiacji względem układu współrzędnych z początkiem umieszczony w środku ciężkości S. Transformacja równoległa momentów dewiacji Współrzędne dowolnej masy w układzie będą równe

35 Moment dewiacji względem dwóch płaszczyzn (np. płaszczyzn i ) będzie równy Transformacja równoległa momentów dewiacji Ale Po zapisaniu analogicznych związków na i otrzymamy:

36 Transformacja obrotowa osiowych momentów bezwładności Dane: oraz i Należy wyznaczyć moment bezwładności względem osi l. Odległość r i masy m i od osi l określona jest równaniem  i  x i,y i,z i )

37 lub Rzut promienia na oś l jest równy Uwzględniając, że gdzie Transformacja obrotowa osiowych momentów bezwładności

38 dochodzimy do równania Grupując względem cosinusów otrzymamy Po podstawieniu do Transformacja obrotowa osiowych momentów bezwładności

39 Mnożymy powyższe równanie przez m i, a otrzymane iloczyny sumujemy. Uwzględniając, że oraz otrzymujemy ostatecznie Transformacja obrotowa osiowych momentów bezwładności

40 W szczególności dla układu płaskiego uwzględniając, że powyższe równanie przyjmuje postać: Transformacja obrotowa osiowych momentów bezwładności


Pobierz ppt "MECHANIKA 2 Wykład Nr 10 MOMENT BEZWŁADNOŚCI. Definicja momentu bezwładności Momentem bezwładności punktu materialnego względem płaszczyzny, osi lub bieguna."

Podobne prezentacje


Reklamy Google