Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

Matematyka i system dwójkowy. Informacje Najprostszym układem pozycyjnym jest dwójkowy układ numeracji zwany też systemem binarnym. Podstawę jego stanowi.

Podobne prezentacje


Prezentacja na temat: "Matematyka i system dwójkowy. Informacje Najprostszym układem pozycyjnym jest dwójkowy układ numeracji zwany też systemem binarnym. Podstawę jego stanowi."— Zapis prezentacji:

1 Matematyka i system dwójkowy

2 Informacje Najprostszym układem pozycyjnym jest dwójkowy układ numeracji zwany też systemem binarnym. Podstawę jego stanowi liczba 2, wszystkie więc liczby można pisać dwiema tylko cyframi: 0 i 1, a więc dowolna liczba dwójkowa zawiera same zera i jedynki. Liczby naturalne w systemie dwójkowym zapisujemy analogicznie jak w systemie dziesiętnym - zamiast kolejnych potęg liczby dziesięć, stosujemy kolejne potęgi liczby dwa.

3 Dodawanie i mnożenie liczb biarnych Zapis liczby całkowitej w systemie dwójkowym ma postać: ai-1ai-2... a2 a1 a0 = ai-1 · 2i-1 + ai-2 · 2i a2 · 22 + a1 · 21 + a0 · 20 Konwersja liczby dwójkowej na zapis w systemie o innej podstawie. Liczba dwójkowa: Podstawa: Dodawanie liczb binarnych Do wykonywania dodawania niezbędna jest znajomość tabliczki dodawania, czyli wyników sumowania każdej cyfry z każdą inną. W systemie dwójkowym mamy tylko dwie cyfry 0 i 1, zatem tabliczka dodawania jest prosta i składa się tylko z czterech pozycji: = = = = 10 Dodając dwie liczby binarne podpisujemy je jadna pod drugą tak, aby w kolejnych kolumnach znalazły się cyfry stojące na pozycjach o tych samych wagach. Operacja jest podobna do dodawania w systemie dziesiętnym, gdzie dodawanie rozpoczynamy od ostatniej kolumny. Sumujemy cyfry w kolumnie zgodnie z podaną wyżej tabelką zapisując wynik pod kreską. Jeśli w słupku musimy dodać dwie jedynki, to jest to sytuacja analogiczna do tej, jaka występuje w systemie dziesiętnym, gdy musimy dodać dwie piątki. A więc 1 i 1 to 0 i 1 w pamięci. Pod kreską zapisujemy tylko ostatnią cyfrę 0, a 1 przechodzi do następnej kolumny, gdzie dodajemy ją do wyniku sumowania cyfr w tej kolumnie. Jeśli w krótszej liczbie zabrakło cyfr, to dopisujemy zera Mnożenie liczb binarnych Mnożenie liczb w układzie dwójkowym jest szczególnie proste, gdyż cała tabliczka mnożenia przedstawia się następująco: 0 ∙ 0 = 0 0 ∙ 1 = 0 1 ∙ 0 = 0 1 ∙ 1 = 1 Odejmowanie można zastąpić dodawaniem, jeżeli utworzy się dopełnienie odejmowanej liczby. Dzielenie w układzie dwójkowym to wielokrotne odejmowanie.

4 System binarny Już nasi praprzodkowie musieli zwrócić uwagę na liczbę dwa: mamy dwie ręce, dwie nogi, dwoje oczu - to mogło być podstawą systemu dwójkowego zwanym też binarnym. Postęp binarny (kolejne potęgi liczby dwa: 1, 2, 4, 8, 16,...) znany był w Egipcie, a Egipcjanie wiedzieli, że dwa znaki wystarczą do zapisu dowolnej liczby. Elementami zbioru znaków systemu binarnego jest para cyfr: 0 i 1. Znak dwójkowy (0 lub 1) nazywany jest bitem. Liczby naturalne w systemie dwójkowym zapisujemy analogicznie jak w systemie dziesiętnym - jedynie zamiast kolejnych potęg liczby dziesięć, stosujemy kolejne potęgi liczby dwa. Na n bitach można zapisać w naturalnym kodzie binarnym liczby z przedziału: (0, 2n - 1).

5 Zmiany systemu Zamianę z systemu dwójkowego na inny można wykonać poprzez zapisanie liczby jako sumy potęg liczby 2 pomnożonych przez wartość cyfry w systemie, na który przekształcamy. Przykładowo przy zamianie liczby na system dziesiętny: – Cyfra 1 podobnie jak w systemie dziesiętnym ma wartość zależną od swojej pozycji - na końcu oznacza 1, na drugiej pozycji od końca 2, na trzeciej 4, na czwartej 8, itd. Ponieważ oraz aby obliczyć wartość liczby zapisanej dwójkowo, wystarczy zsumować potęgi dwójki odpowiadające cyfrom 1 w zapisie. Zamiana liczby w systemie dziesiętnym na liczbę w systemie dwójkowym może przebiegać według wyżej opisanej zasady, czyli: – Rozbicie na sumę potęg liczby 2 na przykład – Bądź też przez wyznaczanie reszt w wyniku kolejnych dzieleń liczby przez 2: 30 ÷ 2 = 15 reszty to cyfra jedności, 15 ÷ 2 = 7 reszty to cyfra drugiego rzędu, 7 ÷ 2 = 3 reszty 1 3 ÷ 2 = 1 reszty 1 1 ÷ 2 = 0 reszty 1 Aby obliczyć wartość dwójkową liczby przepisujemy od końca cyfry reszt. Tak więc.

6 Przykłady 1. Obliczyć wartość liczby dwójkowej (2) (2) = 1 × × × × × × × × (2) = 1 × × × × × × × × (2) = (2) = 229(10)

7 Przykłady 2.

8 Zakres liczby dwójkowej Określmy, jaką największą liczbę dwójkową możemy zapisać za pomocą n bitów (czyli cyfr binarnych). Największa liczba musi posiadać same cyfry 1, czyli w wartości liczby muszą uczestniczyć wszystkie wagi pozycji. Zatem: dla 1b mamy 1(2) = 1(10)dla 2b mamy 11(2) = = 3(10)dla 3b mamy111(2) = = 7(10)dla 4b mamy1111(2) = = 15(10)... Otrzymujemy kolejne liczby: dla 1b mamy dla 2b mamy dla 3b mamy dla 4b mamy Liczby te tworzą prosty ciąg potęgowy: dla 1b mamy 1 = dla 2b mamy3 = dla 3b mamy7 = dla 4b mamy15 =

9 Dziękuję za uwagę! Michał Filipek kl. Va


Pobierz ppt "Matematyka i system dwójkowy. Informacje Najprostszym układem pozycyjnym jest dwójkowy układ numeracji zwany też systemem binarnym. Podstawę jego stanowi."

Podobne prezentacje


Reklamy Google