Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

1 Twierdzenie Pitagorasa Anna Jaworska, Katarzyna Jaworska, Magdalena Wróblewska Publiczne Gimnazjum nr 3 w Białymstoku, ul. Spacerowa 4.

Podobne prezentacje


Prezentacja na temat: "1 Twierdzenie Pitagorasa Anna Jaworska, Katarzyna Jaworska, Magdalena Wróblewska Publiczne Gimnazjum nr 3 w Białymstoku, ul. Spacerowa 4."— Zapis prezentacji:

1 1 Twierdzenie Pitagorasa Anna Jaworska, Katarzyna Jaworska, Magdalena Wróblewska Publiczne Gimnazjum nr 3 w Białymstoku, ul. Spacerowa 4

2 2 Pitagoras Pitagoras (ok p.n.e), filozof grecki. Założył w Krotonie szkołę pitagorejczyków w roku 529 p.n.e. Przeprowadził dowód twierdzenia nazwanego twierdzeniem Pitagorasa (znanego wcześniej jako reguła bez dowodu), odkrył niewspółmierność boku i przekątnej kwadratu, przypisywał magiczne własności liczbom. Wydaje się, że Pitagoras przekazywał swe nauki w postaci maksym, np. Zły język zdradza złe serce. Trudno jest iść przez życie wieloma drogami jednocześnie.

3 3 Pitagoras

4 4 Twierdzenie Pitagorasa Jeżeli trójkąt jest prostokątny, to suma kwadratów długości przyprostokątnych jest równa kwadratowi długości przeciwprostokątnej.

5 5 Twierdzenie Pitagorasa Dowód: Założenie: ∆ABC jest prostokątny Teza: a 2 +b 2 =c 2 Dowód: Długość boku kwadratu ABCD wynosi a+b. Zatem pole tego kwadratu wynosi (a+b) 2. Kwadrat ten składa się z kwadratu o boku c oraz czterech przystających trójkątów prostokątnych. Jego pole możemy więc zapisać:

6 6 Twierdzenie Pitagorasa Dowód c.d.: Porównując ze sobą oba pola otrzymamy: a 2 +2ab+b 2 = c 2 +2ab a 2 +b 2 = c 2 +2ab-2ab Ostatecznie otrzymamy: a 2 +b 2 = c 2

7 7 Twierdzenie Pitagorasa Wersja geometryczna: Jeżeli trójkąt jest prostokątny, to suma pól kwadratów zbudowanych na przyprostokątnych jest równa polu kwadratu zbudowanego na przeciwprostokątnej.

8 8 Twierdzenie Pitagorasa

9 9 Dowód Garfilda: Autorem sprytnego dowodu twierdzenia Pitagorasa jest James Garfield, dwudziesty prezydent Stanów Zjednoczonych. Dowód ten pochodzi z roku 1876 i przebiega jak następuje:

10 10 Twierdzenie Pitagorasa Dowód Garfielda: na przyprostokątnej | BC | = a danego trójkąta prostokątnego ΔABC odkładamy | CD | = | AB | = b, a następnie na prostej ED równoległej do AB odkładamy | BC | = a. Trójkąt ΔACE jest prostokątny (

11 11 Twierdzenie Pitagorasa Dowód Garfielda c.d.: Stąd równości: (b+a)(a+b)=c 2 +2 a 2 +2ab+b 2 =c 2 +2 a 2 +b 2 =c 2

12 12 Twierdzenie odwrotne Jeżeli suma kwadratów długości dwóch boków trójkąta, jest równa kwadratowi długości trzeciego boku trójkąta, to trójkąt jest prostokątny.

13 13 Twierdzenie odwrotne Dowód: Twierdzenie to można udowodnić na przykład metodą sprowadzenia do sprzeczności lub przy pomocy twierdzenia cosinusów. My to udowodnimy następująco: Weźmy dowolny trójkąt ABC o bokach odpowiednio: |BC|=a, |AC|=b, |AB|= c spełniający warunek: a 2 +b 2 =c 2

14 14 Twierdzenie odwrotne Dowód c.d.: Naszym zamiarem jest pokazanie, że jest to trójkąt prostokątny. W tym celu weźmy inny trójkąt KLM taki, że: |KL|=a, |KM|=b oraz < LKM= 90 o Trójkąt KLM jest prostokątny zatem dla niego możemy skorzystać z twierdzenia pitagorasa i obliczyć bok LM : |LM| 2 = a 2 + b 2 z trójkąta ABC mamy: |LM| 2 = a 2 + b 2 = c 2

15 15 Twierdzenie odwrotne Dowód c.d.: zatem: | LM | = c Okazało się, że: | BC | = a = | KL |, | AC | = b = | KM |, | AB | = c = | LM | Z cechy przystawania trójkątów (bbb) wnioskujemy, że trójkąty ABC i KLM są przystające. Z faktu, iż trójkąt KLM jest prostokątny wynika, że trójkąt ABC jest prostokątny.

16 16 Ślimak Teodorasa Ślimak Teodorasa — konstrukcja geometryczna, pozwalająca stworzyć odcinek o długości równej pierwiastkowi z liczby naturalnej. Pomysł konstrukcji opiera się na twierdzeniu Pitagorasa. Nazwa konstrukcji pochodzi od imienia greckiego matematyka i filozofa, Teodorosa z Cyreny.

17 17 Ślimak Teodorosa

18 18 Ciekawostki Trójkąt prostokątny, którego boki mają długość: 3,4,5 nazywamy trójkątem pitagorejskim. Pole każdego trójkąta pitagorejskiego jest liczbą całkowitą kończącą się na 0, 4 lub 6. Prostokąt, którego boki i przekątne mają długości całkowite można nazwać pitagorejskim. Prostopadłościan, którego krawędzie i przekątne wszystkich ścian mają długości całkowite nazywamy pitagorejskim.

19 19 Twierdzenie Pitagorasa Dziękujemy za uwagę


Pobierz ppt "1 Twierdzenie Pitagorasa Anna Jaworska, Katarzyna Jaworska, Magdalena Wróblewska Publiczne Gimnazjum nr 3 w Białymstoku, ul. Spacerowa 4."

Podobne prezentacje


Reklamy Google