Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

Teoria sterowania 2013/2014Sterowanie – metody alokacji biegunów II Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. in ż. Katedra In ż ynierii Systemów Sterowania 1 Metody.

Podobne prezentacje


Prezentacja na temat: "Teoria sterowania 2013/2014Sterowanie – metody alokacji biegunów II Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. in ż. Katedra In ż ynierii Systemów Sterowania 1 Metody."— Zapis prezentacji:

1 Teoria sterowania 2013/2014Sterowanie – metody alokacji biegunów II Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. in ż. Katedra In ż ynierii Systemów Sterowania 1 Metody projektowania macierzy sterowania (sprzężenia zwrotnego) L Dwie grupy metod: Metody alokowania biegunów (metody rozmieszczania biegunów) Dane jest a priori rozmieszczenie biegunów systemu zamkniętego (na płaszczyźnie s lub z) i macierz L jest wyznaczana tak, aby system zamknięty posiadał rzeczywiście takie bieguny Metody specyficzne dla systemów MIMO Sterowanie – metody alokacji biegunów II

2 Teoria sterowania 2013/2014Sterowanie – metody alokacji biegunów II Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. in ż. Katedra In ż ynierii Systemów Sterowania 2 Metoda alokacji biegunów Podstawy metody Metoda związana z działaniem regulacyjnym (związane z warunkiem początkowym, przy przyjęciu Nie bierze się pod uwagę równania wyjścia, gdyż brane jest ono pod uwagę przy projektowaniu macierz kompensacji wzmocnień lub Schemat sterowania systemu ze sterowaniem od stanu

3 Teoria sterowania 2013/2014Sterowanie – metody alokacji biegunów II Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. in ż. Katedra In ż ynierii Systemów Sterowania 3 Projektowanie metodą alokacji biegunów polega znalezieniu stałej macierzy sprzężenia zwrotnego (od stanu) takiej, że wartości własne systemu zamkniętego zarówno systemu ciągłego jak i dyskretnego, znajdują się w danych położeniach na płaszczyźnie s lub z Warunki istnienia macierzy Wszystkie wartości własne systemu mogą być przemieszczone do nowych dowolnych położeń wtedy i tylko wtedy, gdy system jest całkowicie sterowalny Sterowalność, warunki sterowalności, dekompozycja kanoniczna sterowalności - poprzednie wykłady System niesterowalny (niecałkowicie sterowalny) Przez przekształcenie podobieństwa znajdujemy postać dekompozycyjną kanoniczną sterowalności systemu

4 Teoria sterowania 2013/2014Sterowanie – metody alokacji biegunów II Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. in ż. Katedra In ż ynierii Systemów Sterowania 4 Dekompozycyjna postać kanoniczna sterowalności gdzie - sterowalne zmienne stanu nowego wektora stanu - niesterowalne zmienne stanu nowego wektora stanu Sterowanie ze sprzężeniem od stanu System ciągły System dyskretny System ciągły System dyskretny

5 Teoria sterowania 2013/2014Sterowanie – metody alokacji biegunów II Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. in ż. Katedra In ż ynierii Systemów Sterowania 5 daje system zamknięty o równaniu stanu System ciągły System dyskretny Blokowo – diagonalna macierz systemu zamkniętego ma wartości będące połączeniem wartości własnych macierzy System ciągły System dyskretny Wybór wartości własnych systemu zamkniętego nie jest w tym przypadku arbitralny, ponieważ musi on zawierać wartości własne (system ciągły) lub (system dyskretny)

6 Teoria sterowania 2013/2014Sterowanie – metody alokacji biegunów II Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. in ż. Katedra In ż ynierii Systemów Sterowania 6 Z drugiej strony, arbitralny wybór wartości własnych jest równoważny arbitralnemu wyborowi współczynników wielomianu, ponieważ Ogólna procedura wyznaczania macierzy L Wartości własne macierzy systemu zamkniętego, które Przy warunku równanie stanu systemu zamkniętego zostały wybrane, są zerami wielomianu charakterystycznego systemu zamkniętego gdzie, oznacza, że współczynnik wielomianu zależy od elementów nieznanej macierzy

7 Teoria sterowania 2013/2014Sterowanie – metody alokacji biegunów II Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. in ż. Katedra In ż ynierii Systemów Sterowania 7 Przyrównując do siebie współczynniki powyższych wielomianów, otrzymujemy układ równań t.j. układ n równań (określone ) o p x n niewiadomych (wymiar macierzy L) Konsekwencje: p = 1, system jednowymiarowy, układ określony, istnieje jednoznaczne rozwiązanie p > 1, system wielowymiarowy, układ niedookreślony, nie istnieje jednoznaczne rozwiązanie ( )

8 Teoria sterowania 2013/2014Sterowanie – metody alokacji biegunów II Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. in ż. Katedra In ż ynierii Systemów Sterowania 8 Systemy jednowymiarowe Dla p = 1 macierz redukuje się do wiersza Prawo sterowania, staje się skalarem Dla systemów niskiego rzędu (do 4 – tego) lub gdy macierz systemu zamkniętego jest rzadka (mało elementów niezerowych) układ równań ( ) można rozwiązywać bezpośrednio dla otrzymania System dany w postaci kanonicznej sterowalności Jeżeli system dany w postaci kanonicznej sterowalności (patrz wykłady MiI) – macierz systemu zamkniętego CCF – Controllability Canonical Form

9 Teoria sterowania 2013/2014Sterowanie – metody alokacji biegunów II Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. in ż. Katedra In ż ynierii Systemów Sterowania 9 Przypomnienie: macierz oraz wektor Stąd

10 Teoria sterowania 2013/2014Sterowanie – metody alokacji biegunów II Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. in ż. Katedra In ż ynierii Systemów Sterowania 10 Macierz ma nadal strukturę kanoniczną sterowalności – współczynniki wielomianu charakterystycznego otrzymujemy bez obliczeń Współczynniki wielomianu charakterystycznego = elementy ostatniego wiersza macierzy systemu zamkniętego w postaci kanonicznej sterowalności ze znakiem przeciwnym Twierdzenie 1: Załóżmy, że system sterowania ciągłego, jednowymiarowego jest dany w postaci kanonicznej sterowalności z wielomianem charakterystycznym i że dla systemu zamkniętego wielomian charakterystyczny jest postulowany. Wówczas macierz dająca taki wielomian dana jest

11 Teoria sterowania 2013/2014Sterowanie – metody alokacji biegunów II Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. in ż. Katedra In ż ynierii Systemów Sterowania 11 System dany w dowolnej postaci – wzór Ackermanna Jeżeli system jest sterowalny, to zawsze można go przekształcić do postaci kanonicznej sterowalności stosując przekształcenie podobieństwa gdzie jest wektorem stanu odpowiadającym postaci kanonicznej oraz macierz odwrotna przekształcenia jest dana wzorem gdzie wiersz jest ostatnim wierszem odwrotnej macierzy sterowalności Dla postaci kanonicznej sterowalności prawo sterowania ma postać co daje

12 Teoria sterowania 2013/2014Sterowanie – metody alokacji biegunów II Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. in ż. Katedra In ż ynierii Systemów Sterowania 12 Dalej wykorzystywane jest twierdzenie Cayleya-Hamiltona Macierz dająca postulowany wielomian charakterystyczny Twierdzenie Cayleya-Hamiltona: Każda macierz kwadratowa wymiaru spełnia swoje równanie charakterystyczne. Innymi słowy, jeżeli równanie charakterystyczne macierzy jest wówczas zachodzi też

13 Teoria sterowania 2013/2014Sterowanie – metody alokacji biegunów II Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. in ż. Katedra In ż ynierii Systemów Sterowania 13 macierze oraz Macierze podobne mają takie same wartości własne, w przypadku rozważanym są to Macierz te mają zatem też jednakowe wielomiany charakterystyczne Zgodnie z twierdzeniem Cayleya-Hamiltona macierz musi zatem spełniać równanie macierzy Równanie charakterystyczne macierzy daje mnożąc lewostronnie przez Podstawiając ten wynik do dostajemy twierdzenie Ackermanna

14 Teoria sterowania 2013/2014Sterowanie – metody alokacji biegunów II Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. in ż. Katedra In ż ynierii Systemów Sterowania 14 Twierdzenie 2: Jeżeli system jest sterowalny i postulowany jest wielomian charakterystyczny systemu zamkniętego postaci to macierz sterowania należy wybrać jako gdzie jest ostatnim wierszem odwrotnej macierzy sterowalności a zatem jest określony

15 Teoria sterowania 2013/2014Sterowanie – metody alokacji biegunów II Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. in ż. Katedra In ż ynierii Systemów Sterowania 15 Przykład 1: System jednowymiarowy Zaprojektować sterowanie ze sprzężeniem zwrotnym od stanu, tzn. wyznaczyć, które są elementami macierzy sterowań Bieguny (wartości własne) systemu zamkniętego powinny być ulokowane w punktach

16 Teoria sterowania 2013/2014Sterowanie – metody alokacji biegunów II Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. in ż. Katedra In ż ynierii Systemów Sterowania 16 Opis w przestrzeni stanu Wielomian charakterystyczny systemu zamkniętego Najpierw Macierz systemu zamkniętego

17 Teoria sterowania 2013/2014Sterowanie – metody alokacji biegunów II Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. in ż. Katedra In ż ynierii Systemów Sterowania 17 Stąd wielomian charakterystyczny systemu zamkniętego Pożądany wielomian charakterystyczny systemu zamkniętego Stąd układ równań Rozwiązanie

18 Teoria sterowania 2013/2014Sterowanie – metody alokacji biegunów II Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. in ż. Katedra In ż ynierii Systemów Sterowania 18 Prawo sterowania

19 Teoria sterowania 2013/2014Sterowanie – metody alokacji biegunów II Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. in ż. Katedra In ż ynierii Systemów Sterowania 19 Zastosowanie wzoru Ackermanna Macierz sterowalności W przykładzie – system jednowymiarowy

20 Teoria sterowania 2013/2014Sterowanie – metody alokacji biegunów II Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. in ż. Katedra In ż ynierii Systemów Sterowania 20

21 Teoria sterowania 2013/2014Sterowanie – metody alokacji biegunów II Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. in ż. Katedra In ż ynierii Systemów Sterowania 21

22 Teoria sterowania 2013/2014Sterowanie – metody alokacji biegunów II Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. in ż. Katedra In ż ynierii Systemów Sterowania 22 Pożądany wielomian charakterystyczny systemu zamkniętego Prawo sterowania

23 Teoria sterowania 2013/2014Sterowanie – metody alokacji biegunów II Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. in ż. Katedra In ż ynierii Systemów Sterowania 23 Dziękuję za uczestnictwo w wykładzie i uwagę

24 Teoria sterowania 2013/2014Sterowanie – metody alokacji biegunów II Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. in ż. Katedra In ż ynierii Systemów Sterowania 24 System jednowymiarowy ciągły Dodatek 1 Postać kanoniczna sterowalności Macierz sterowalności (dla dowolnej postaci)

25 Teoria sterowania 2013/2014Sterowanie – metody alokacji biegunów II Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. in ż. Katedra In ż ynierii Systemów Sterowania 25 Przekształcenia podobieństwa

26 Teoria sterowania 2013/2014Sterowanie – metody alokacji biegunów II Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. in ż. Katedra In ż ynierii Systemów Sterowania 26 Przekształcenie do postaci kanonicznej sterowalności Twierdzenie D1: Jeżeli system jest sterowalny, wówczas jest możliwe za pomocą przekształcenia przedstawić go w postaci kanonicznej sterowalności gdzie, i gdzie macierz odwrotna przekształcenia,

27 Teoria sterowania 2013/2014Sterowanie – metody alokacji biegunów II Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. in ż. Katedra In ż ynierii Systemów Sterowania 27 Przy czym wiersz jest ostatnim wierszem odwrotnej macierzy sterowalności i może zatem być obliczony z następującego układu równań to znaczy, że zachodzi również


Pobierz ppt "Teoria sterowania 2013/2014Sterowanie – metody alokacji biegunów II Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. in ż. Katedra In ż ynierii Systemów Sterowania 1 Metody."

Podobne prezentacje


Reklamy Google