Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

GEODEZJA WYKŁAD Teoria błędów Katedra Geodezji im. K. Weigla ul. Poznańska 2.

Podobne prezentacje


Prezentacja na temat: "GEODEZJA WYKŁAD Teoria błędów Katedra Geodezji im. K. Weigla ul. Poznańska 2."— Zapis prezentacji:

1 GEODEZJA WYKŁAD Teoria błędów Katedra Geodezji im. K. Weigla ul. Poznańska 2

2 TEORIA BŁĘDÓW Twórca teorii błędów CARL FRIEDRICH GAUSS niemiecki matematyk i astronom, w 1799 doktor matematyki Uniwersytetu Helmstedt. Wydał dwutomowe dzieło (1844 i 1847) z dziedziny geodezji. Pierwsze prace z zakresu teorii błędów w geodezji: - postulat Legendre’a – met. najmn. kwadratów - hipotezy Hagena o rozkładzie błędów

3 Błędy pomiarów i ich charakterystyka Błąd prawdziwy obserwacji  - różnica między nieznanym wymiarem X (prawdziwą wartością) mierzonej wielkości i wynikiem pomiaru L  i = X - L Źródła błędów: - niedoskonałość zmysłów obserwatora, - narzędzia pomiarowe (dalmierz, teodolit, niwelator) - warunki pracy, czyli środowisko (temperatura, ciśnienie, wilgotność, wiatr, opady, promieniowanie słoneczne). Ogólna klasyfikacja błędów obserwacji: - błędy grube (omyłki), - systematyczne, - przypadkowe (losowe).

4 Rozkład błędów przypadkowych Błędy przypadkowe są zmiennymi losowymi. Charakteryzuje je rozkład normalny zwany rozkładem Gaussa-Laplace'a N(μ,σ). Jest to najczęściej spotykany w naturze rozkład zmiennej losowej ciągłej. Rozkład normalny ma dwa parametry: - μ – wartość oczekiwana, - σ – odchylenie standardowe.

5 Funkcja gęstości rozkładu normalnego

6 Wykres funkcji gęstości rozkładu normalnego dla parametrów μ,σ.

7 DYSTRYBUANTA ROZKŁADU

8 Własności rozkładu normalnego

9 Empiryczne wartości parametrów rozkładu normalnego Obliczone empiryczne wartości parametrów μ,σ z próby losowej : - wartość średnia - x s - błąd średni – m. Błąd średni to empiryczna ocena parametru σ, Definicja: P(|  | < m) = 0.68 Różne charakterystyki do oceny błędów: błąd średni, błąd przeciętny, błąd prawdopodobny, błąd graniczny oraz błąd względny. Różnica między wartością średnią z próby losowej x s i obserwacją l i nazywa się błędem pozornym v i v i = x s - l i

10 Obliczenie błędu średniego z próby losowej Wielokrotny pomiar tej samej wielkości daje nadliczbowe elementy i pozwala obliczyć błędy pozorne v oraz błąd średni m. Dotyczy to zarówno pomiarów bezpośrednich jak też pośrednich.

11 Błąd graniczny Małe prawdopodobieństwo zdarzenia: P(|  |

12 Błąd względny Błąd względny to stosunek bezwzględnej wartości błędu do całej mierzonej wielkości. W pewnych zadaniach przy ocenie dokładności korzystniej jest użyć miary względnej. Na przykład porównanie błędów długości odcinków, pola figur, objętości obiektów lub ich masy. Odcinka krótkiego i bardzo długiego ewentualnie pomiar objętości obiektów lub ich masy. Takie porównania wymagają względnej miary dokładności:

13 Prawo Gaussa przenoszenia się błędów średnich. Błędy obserwacji powodują, że również wszelkie funkcje tych obserwacji są obarczone błędami. W przypadku funkcji liniowych ocena błędu funkcji obserwacji jest nieskomplikowana. Dla funkcji nieliniowej F = f(x, y, z,...), błąd średni może być obliczony dla przybliżonej postaci tej funkcji, przy założeniu, że daje się ona rozwinąć w szereg Taylora. Funkcja F (x, y, z) w postaci szeregu Taylora w otoczeniu punktu P (x 0, y 0, z 0 ): F (x,y,z) = F (x 0 + dx,y 0 + dy, z 0 + dz) = F (x 0,y 0,z 0 ) +

14 Utożsamiając zmiany dx, dy, dz z błędami:  x,  y,  z wzór na średni błąd dowolnej funkcji:

15 Przykład: Pole prostokątnej działki o bokach a,b. Z pomiaru długości boków figury: a =300m, m a =  0,10 m, b = 20m m b =  0,01m Obliczyć pole figury, błąd średni oraz względny pola. Pole P = F(a,b) = a * b = 6000 m 2 = 60 a. Średni błąd tej funkcji: a b

16 Pochodne cząstkowe: P = 6000 m 2 ± 4 m 2 Błąd względny pola figury:

17 Wyrównanie obserwacji i ocena dokładności Obserwacje bezpośrednie: - jednakowo dokładne. - niejednakowo dokładne (o różnej dokładności). Wzajemny stosunek dokładności wyraża się przez nadanie wag p i dla każdej obserwacji, Wagi p i =1 dla każdej obserwacji jednakowo dokładnej. Wagi to liczby niemianowane, które określają dokładność względną poszczególnych obserwacji.

18 Wyrównanie i ocena dokładności obserwacji bezpośrednich jednakowo dokładnych Teoria błędów posługuje się błędami pozornymi przy obliczaniu wartości najbardziej prawdopodobnej. W statystyce wyrównanie wyników pomiaru nosi nazwę estymacji parametrów rozkładu. Wyrównanie obserwacji metodą najmniejszych kwadratów jest wykonywane przy założeniu  v 2 = minimum dla obserwacji jednakowo-dokładnych. Dla obserwacji niejednakowo-dokładnych warunek ten ma postać:  pv 2 = minimum. Wyrównanie takie nazywane jest wyrównaniem ścisłym.

19 Próba złożona z n obserwacji: l 1, l 2,..., l n wykonanych z tą samą dokładnością. Jeżeli wartość prawdziwa poszukiwanej wielkości wynosi X, to zgodnie z podaną wcześniej definicją błędu prawdziwego można zapisać:  1 = X—l 1  2 = X—l 2...  n = X—l n Sumując równania, otrzymuje się , stąd X =  /n dąży do zera, dąży do wartości prawdziwej X Wartość średnia:

20 = ± 5 mm Błąd średni średniej arytmetycznej M: Średnia arytmetyczna:

21 Średni błąd pojedynczej obserwacji z próby (m): Błąd średni średniej arytmetycznej (M): (po wyrównaniu obserwacji)

22 Ocena dokładności pomiarów Błąd średniej arytmetycznej M można wyznaczyć jako błąd funkcji: = F(l): Przyjmując, że suma obserwacji ma odchyleni standardowe σ x, otrzymuje się wzór na tzw. średni błąd średniej arytmetycznej:

23 Wyrównanie i ocena dokładności obserwacji bezpośrednich niejednakowo dokładnych Próba losowa n obserwacji niejednakowo dokładnych: l 1, l 2,..., l n średnie błędy m 1, m 2,..., rn n lub wagi p 1, p 2,..., p n, lub

24 Ogólna średnia arytmetyczna (ważona): Błąd średni typowej obserwacji o wadze p 0 =1. Błąd średni ogólnej średniej arytmetycznej:

25 Średni błąd obserwacji typowej: =  1.2 mm =  3.3 mm =  1.2 mm Średni błąd wartości oczekiwanej:


Pobierz ppt "GEODEZJA WYKŁAD Teoria błędów Katedra Geodezji im. K. Weigla ul. Poznańska 2."

Podobne prezentacje


Reklamy Google