Filozoficzne zagadnienia mechaniki kwantowej

Prezentacja na temat: "Filozoficzne zagadnienia mechaniki kwantowej"— Zapis prezentacji:

1 Filozoficzne zagadnienia mechaniki kwantowej
Andrzej Łukasik Instytut Filozofii UMCS

2 Wykład I. Kwantowy charakter zjawisk

3 Fizyka klasyczna a fizyka kwantowa
Klasyczny obraz świata: „Natura non facit saltus” „Dwa główne aspekty odróżniają, w sposób najbardziej uderzający, mechanikę kwantową od teorii klasycznych. Są to: charakter kwantowy i dualizm korpuskularno-falowy” (S. Szpikowski, Podstawy mechaniki kwantowej, s. 20).

4 Kwantowy charakter zjawisk
„W rzeczywistości cała fizyka jest fizyką kwantową — prawa fizyki kwantowej są najogólniejszymi znanymi nam prawami przyrody. […] fizyka klasyczna dotyczy tych aspektów przyrody, które nie wiążą się bezpośrednio z zagadnieniem podstawowych składników materii” (Eyvind H. Wichmann, Fizyka kwantowa, s. 17).

5 Kwantowomechaniczna rewolucja
Lata : teoria kwantów – przełomowe koncepcje – hipoteza Maxa Plancka (kwant działania) – hipoteza Alberta Einsteina (fotony) – model Nielsa Bohra (atomu wodoru) – hipoteza Louisa de Broglie (fale materii) Lata – powstanie mechaniki kwantowej

6 Promieniowanie ciała doskonale czarnego
Niepowodzenie interpretacji widma ciała doskonale czarnego przy użyciu pojęć i praw fizyki klasycznej

7 Kwanty energii Max Planck ( ) prawo promieniowania ciała doskonale czarnego 14 grudnia 1900 – narodziny teorii kwantów h – elementarny kwant działania

8

9 Energia jest emitowana i absorbowana w sposób dyskretny
Energia kwantu jest proporcjonalna do częstości „Hipoteza Plancka wprowadzająca kwanty energii nie jest kontynuacją uprzedniej myśli fizycznej. Oznacza przełom zupełny. Jego głębię i konieczność wykazały wyraźniej następne dziesięciolecia. Idea kwantów była kluczem do zrozumienia niedostępnych nam uprzednio zjawisk atomowych” (Max von Laue, Historia fizyki, s ).

10 „Starałem się przeto włączyć w jakiś sposób pojęcie kwantu działania h do teorii klasycznej. Jednakże wielkość ta okazała się krnąbrna i oporna na wszelkie próby zmierzające w tym kierunku. […] Moje bezskuteczne próby włączenia w jakiś sposób pojęcia kwantu działania do teorii klasycznej trwały wiele lat i kosztowały mnie wiele trudu. Niektórzy moi koledzy dopatrywali się w tym swoistego elementu tragizmu. Mam odmienny pogląd na to, dla mnie bowiem korzyść, jaką uzyskałem dzięki gruntownemu wyjaśnieniu sobie sprawy, była tym cenniejsza. Wiedziałem teraz dobrze, że kwant działania odgrywa w fizyce o wiele większą rolę, niż początkowo skłonny byłem przypuścić; dzięki temu zrozumiałem konieczność wprowadzenia do fizyki atomowej całkowicie nowych metod ujmowania problemów i przeprowadzania obliczeń” (M. Planck, Jedność fizycznego obrazu świata, s ).

11 h = 6,62419 x 10-34 J s elementarny kwant działania

12 Zjawisko fotoelektryczne zewnętrzne
Zjawisko wybijania elektronów z powierzchni metalu pod wpływem padającego światła 1887 Hertz: światło ultrafioletowe, przechodząc między elektrodami cewki indukcyjnej, której używał w swoich eksperymentach, ułatwia wyładowanie iskrowe, tak jakby między elektrodami pojawiały się dodatkowe nośniki elektryczności 1888 Wilhelm Hallwachs: przyczyną wzrostu natężenia wyładowania iskrowego w doświadczeniu Hertza jest występowanie naładowanych cząstek, które później zostały zidentyfikowane jako elektrony; ciała naładowane elektrycznie tracą ładunek pod wpływem oświetlania.

13

14 Empiryczne prawa rządzące zjawiskiem fotoelektrycznym (1902 Lenard)
1) liczba emitowanych z powierzchni fotokatody elektronów jest proporcjonalna do natężenia padającego promieniowania elektromagnetycznego 2) maksymalna energia kinetyczna elektronów jest wprost proporcjonalna do częstości promieniowania, nie zależy natomiast od jego natężenia 3) istnieje graniczna częstość, poniżej której efekt nie zachodzi, tzn. promieniowanie o częstości niższej niż charakterystyczna dla danego metalu częstość graniczna nie powoduje emisji elektronów Rezultatów tych nie można wyjaśnić na podstawie elektrodynamiki klasycznej

15 Albert Einstein (1879-1955) teoria zjawiska fotoelektrycznego (1905)
światło jest strumieniem cząstek (fotonów), których energia jest proporcjonalna do częstości fali świetlnej: E = h, pęd fotonów p związany jest z długością fali świetlnej λ wzorem: p = h/λ = h/c c = 3 x 108 m/s – prędkość światła w próżni W zjawisku fotoelektrycznym pojedynczy foton absorbowany jest przez elektron: h = A + mv2/2 A – praca wyjścia elektronu z metalu

16 Sytuacja w fizyce około 1900 roku – przekonanie o „końcu fizyki”
„Wszystkie najważniejsze prawa i fakty w fizyce zostały już odkryte i tak dobrze potwierdzone, iż jest znikome prawdopodobieństwo, że zostaną one uzupełnione w wyniku nowych odkryć. Przyszłych nowych prawd w fizyce trzeba będzie szukać na szóstym miejscu po przecinku”. (Albert A. Michelson, 1894) „Kiedy rozpoczynałem studia fizyczne u mego czcigodnego nauczyciela Philippa von Jolly’ego […] przedstawił mi on fizykę klasyczną jako naukę wysoko rozwiniętą, prawie całkowicie dojrzałą, która po ukoronowaniu jej osiągnięć przez odkrycie zasady zachowania energii miała już wkrótce przyjąć ostateczną postać”. (Max Planck)

17 Badania nad wyładowaniami elektrycznymi w rozrzedzonych gazach
Obserwacje świecenia gazu w rurze do wyładowań i fluorescencji szkła 1838 – Faraday: przy obniżaniu ciśnienia pojawia się w przestrzeni między elektrodami ciemny obszar (ciemnia Faradaya) Od 1875 – Johann Heirich Geissler – wytwarzanie rur do wyładowań wypełnionych rozrzedzonymi gazami Od Julius Pluckner – wpływ magnesu na wygląd wyładowania (wniosek: z katody wydostają się jakieś promienie) 1869 – Johann Wilhelm Hittorf – promienie rozchodzą się prostoliniowo, ale nie ulegają odchyleniu w polu magnetycznym (Glimmstrahlen – promienie świecące) 1876 – Eugen Goldstein – nazwa: promienie katodowe 1871 – Cromwell Fleetwood Varley – hipoteza korpuskularnej natury promieni katodowych

18 Własności promieni katodowych
Badania prowadzone przez Plücknera, Johanna Wilhelma Hittorfa (1824–1914), Eugene Goldsteina (1850–1930) i Williama Crookesa (1832–1919) doprowadziły do ustalenia następujących własności promieni katodowych: 1) promienie emitowane są podczas przepływu prądu przez rurę do wyładowań; 2) poruszają się po liniach prostych; 3) wywołują zjawisko fluorescencji; 4) są odchylane przez pola elektryczne i magnetyczne; 5) są emitowane prostopadle do powierzchni katody; 6) ich własności nie zależą od materiału, z jakiego zbudowana jest katoda; 7) mogą wywoływać reakcje chemiczne; 8) przenoszą pęd i energię.

19

20 Od 1871 – Willam Crookes – badania promieni katodowych
Promienie katodowe rozchodzą się prostoliniowo

21 Promienie katodowe przekazują pęd

22 Promienie katodowe przekazują energię

23 Czym są promienie katodowe?
Fizycy brytyjscy – hipoteza korpuskularnej natury promieni katodowych Fizycy niemieccy – hipoteza fal w eterze 1892 Philip Lenard – promienie katodowe mogą przenikać przez bardzo cienkie folie metalowe (wydawało się niemożliwe, by materia była przenikliwa dla materii) Stwierdzono, że światłoczułe ekrany fosforyzują, a klisze fotograficzne ulegają zaczernieniu pod wpływem promieni katodowych 1890 – Arthur W. Goodspeed i William N. Jennins – pierwsze fotografie przedmiotów na osłoniętej kliszy fotograficznej (nie opublikowano)

24 Odkrycie elektronu Joseph John Thomson, 1897
Badania nad promieniami katodowymi Pomiar stosunku masy elektronu do ładunku m/e = 1,759 x C/kg 1909 Robert Andrew Millikan: e = 1,6 x C m = 9,1 x kg

25 Pierwszy komunikat o istnieniu tych cząstek przedstawiłem na wieczornym posiedzeniu Instytutu Królewskiego […] 30 kwietnia 1897 roku… Wiele lat później jeden z wybitnych fizyków opowiedział mi, że pomyślał wtedy, iż im wszystkim umyślnie zawracam głowę. Nie byłem tym zdziwiony, gdyż sam z wielką niechęcią doszedłem do takiego wyjaśnienia swoich eksperymentów, i dopiero przekonawszy się, iż przed danymi doświadczalnymi nie ma ucieczki, ogłosiłem, że wierzę w istnienie ciał mniejszych od atomów. Joseph John Thomson

26 Ponieważ promienie katodowe niosą ładunki ujemnej elektryczności, są odchylane przez siłę elektrostatyczną, tak jakby były ujemnie naelektryzowane i siła magnetyczna działa na nie w taki sam sposób, w jaki działałaby na ujemnie naładowane ciało poruszające się wzdłuż drogi tych promieni, nie widzę sposobu uniknięcia konkluzji, że są one ładunkami ujemnej elektryczności niesionymi przez cząstki materii. Powstaje więc następujące pytanie: czym są te cząstki? Czy są one atomami, molekułami lub materią w stanie jeszcze drobniejszego podziału? Aby rzucić światło na tę kwestię, wykonałem szereg pomiarów stosunku masy tych cząstek do niesionego przez nie ładunku. J. J. Thomson, Cathode Rays…, [w:] W. F. Magie (ed.), A Source Book of Physics, s. 589.

27 Problem: jeżeli istnieją cząstki drobniejsze niż atom, to jak zbudowane są same atomy?

28 Model atomu Thomsona (1902) — “ciasto z rodzynkami”
Model atomu Thomsona (1902) — “ciasto z rodzynkami”. W dodatnio naładowanej kulistej kropli materii o rozmiarach rzędu 10–10 m tkwią ujemnie naładowane elektrony. Atom jako całość jest elektrycznie obojętny

29 Ernest Rutherford – odkrycie jądra atomowego (1911)

30 To z pewnością najbardziej niewiarygodna rzecz, która wydarzyła mi się w życiu — napisał Rutherford. Było to tak samo niewiarygodne, jakby 15-calowy pocisk, który wystrzeliliście w kierunku kawałka bibułki, wrócił i trafił w was (Rutherford)

31 m cząstki alfa = 6,62  10–27 kg = 8000 m elektronu
Zderzenie cząstki alfa z elektronem ma niewielki wpływ na jej tor m atomu złota = 50 m cząstki alfa rozproszenie do tyłu jest rezultatem zderzenia cząstki alfa z bardzo małym, dodatnio naładowanym i zawierającym prawie całą masę atomu jądrem atomowym

32 Planetarny model atomu Rutherforda (1911)
Rozmiary atomu – 10 –10 m Rozmiary jądra atomowego: m

33 Problem: niestabilność atomu (materia w znanej nam postaci w krótkim czasie (rzędu 10–8 s) przestałaby istnieć model Rutherforda nie wyjaśnia, dlaczego rozmiary wszystkich atomów są rzędu 10–10 m jeżeli elektrony mogą krążyć w dowolnej odległości od jądra, to energia elektronu na orbicie może zmieniać się w sposób ciągły

34 Gdy chcemy wyjaśnić jakieś nieznane zjawisko, to jest rzeczą jasną, że przede wszystkim próbujemy zastosować najprostszy sposób, polegający na skorzystaniu z teorii lub modelu, który okazał się owocny w sytuacjach, które uważamy za podobne. Jeżeli prowadzi to do dobrych wyników, to możemy powiedzieć, że czegoś się nauczyliśmy, jeżeli zaś nie — to też czegoś się nauczyliśmy. Należy tu zwrócić uwagę na to, że modele są tylko modelami i że nie wszystko w fizyce da się opisać za pomocą prostych modeli. E. H. Wichmann, Fizyka kwantowa, tłum. W. Gorzkowski, A. Szymacha, PWN, Warszawa 1975, s. 20.

35 Niels Bohr (1855-1962) model atomu wodoru (1913)
planetarny model atomu Rutherforda + niezgodne z fizyką klasyczną postulaty kwantowe

36 Postulaty kwantowe Bohra
1. mvr = nh/2 h – stała Plancka orbity są skwantowane - ich promienie mogą przybierać jedynie ściśle określone, dyskretne wartości 2. Elektron na dozwolonej, czyli stacjonarnej orbicie nie promieniuje energii 3. h = En – Em

37 „Każde z tych założeń — warunek kwantyzacji, brak promieniowania podczas pobytu na jednej ze skwantowanych orbit i promieniowanie w trakcie przeskoku między orbitami, było sprzeczne ze znaną wówczas klasyczną teorią. Jednakże rzeczą konieczną było założenie w jakiś sposób stabilności atomu. Promieniowanie w trakcie przeskoku wydawało się być zgodne z tym, co zostało już stwierdzone przez Einsteina i Plancka. Warunek kwantowania także nie różnił się zbytnio od pierwotnego warunku Plancka” (L. N. Cooper, Istota i struktura fizyki, s. 528).

38 Siła dośrodkowa = siła Coulomba
mv2/r = e2/(40r2) z pierwszego postulatu Bohra mvr = nh/(2), prędkość elektronu na danej orbicie: v = nh/(2rm)

39 Promień n-tej orbity Bohrowskiej, n = 1, 2,… główna liczba kwantowa; (r0 = 0,5292  10–10 m)
Energia na n-tej orbicie: Częstość linii widmowych

40 Louis Victor de Broglie (1892–1987) hipoteza fal materii (1924) Recherches sur la théorie des Quanta
J. J. Thomson o pracy de Broglie: „Idee autora były oczywiście niedorzeczne, ale zostały przedstawione z taką elegancją i błyskotliwością, że dopuściłem pracę do obrony” Dualizm korpuskularno-falowy

41 1927 doświadczenia Clintona Davissona (1881– 1958) i Lestera Germera (1896–1971) potwierdziły hipotezę de Broglie’a: elektrony, podobnie jak fale elektromagnetyczne, ulegają dyfrakcji i interferencji, a więc zjawiskom typowym dla fal

42 Powiązanie fal materii de Broglie z orbitami stacjonarnymi Bohra
Jeżeli elektrony zinterpretujemy jako fale stojące, to w atomie długość „orbity stacjonarnej” musi być całkowitą wielokrotnością długości fali  elektronu, (w przeciwnym wypadku fale w wyniku interferencji destruktywnej uległyby wygaszeniu). n = 2R, R – promień dozwolonej orbity w modelu Bohra  = h/p nh/p = 2R pR = nh/2 p = mv mvR = nh/2 (warunek kwantowy Bohra)

43 Dualizm korpuskularno-falowy
Hipoteza falowa światła (elektrodynamika klasyczna – Maxwell, 1864) Dyfrakcja Interferencja Polaryzacja Hipoteza korpuskularna światła (Einstein, 1905) Zjawisko fotoelektryczne Promieniowanie ciała doskonale czarnego Widma liniowe Hipoteza fal materii (de Broglie, 1924)

44 Eksperyment z dwiema szczelinami
„[…] nikt nie rozumie mechaniki kwantowej”. (Richard P. Feynman, Charakter praw fizycznych, s. 137) „Ten jeden eksperyment zawiera w sobie wszystkie tajemnice mechaniki kwantowej. Jego analiza pozwoli nam na zapoznanie się ze wszystkimi osobliwościami i paradoksami natury. Każdy inny problem z dziedziny teorii kwantów można zawsze wyjaśnić, wracając do tego doświadczenia”. (Richard P. Feynman, Charakter praw fizycznych, s. 138).

45 Przejście klasycznych cząstek przez układ dwóch szczelin (brak interferencji)
N1 – liczba cząstek przechodzących przez szczelinę 1 N2 – liczba cząstek przechodzących przez szczelinę 2 N12 – prawdopodobieństwo = średnia liczba cząstek trafiających w dane miejsce ekranu, gdy otwarte są szczeliny 1 i 2 N12 = N1 + N2 (brak interferencji) Źródło grafiki:

46 Przejście klasycznych fal przez układ dwóch szczelin (interferencja)
H1 – amplituda fali przechodzącej przez szczelinę 1 H2 – amplituda fali przechodzącej przez szczelinę 2 H12 – amplituda fali (obydwie szczeliny otwarte) H12 = H1 + H2 Natężenie fali: I12 = (H12)2 = (H1 + H2)2 (interferencja), I1 = (H1)2 I2 = (H2)2

47

48 Przejście elektronów (lub fotonów) przez układ dwóch szczelin
Interferencja elektronów (fotonów)

49 Przejście elektronów (lub fotonów) przez układ dwóch szczelin
Rezultaty eksperymentu: Elektrony trafiają w detektor pojedynczo Detektor rejestruje zawsze taką samą, dyskretną wartość (cały elektron lub nic) Nigdy dwa detektory nie rejestrują jednego elektronu Ale! N12 ≠ N1 + N2 N12 = (a1 + a2)2 – prawdopodobieństwo trafienia elektronu (fotonu) w dany punkt ekranu (interferencja! – jak w przypadku fal) a – amplituda prawdopodobieństwa

50 „Podsumowując, można powiedzieć, że elektrony docierają do detektorów w całości, tak jak pociski, ale prawdopodobieństwo rejestracji elektronów jest określone takim wzorem jak natężenie fali. W tym sensie elektron zachowuje się jednocześnie jak cząstka i jak fala”. (R. P. Feynman, Charakter…, s. 147)

51 Określenie, przez którą szczelinę przechodzi elektron brak interferencji

52 Elektrony rejestrowane są jako niepodzielne cząstki
Twierdzenie „elektron przechodzi albo przez szczelinę 1 albo przez szczelinę 2” jest FAŁSZYWE! „jest rzeczą niemożliwą tak ustawić światła, aby stwierdzić, przez którą szczelinę przeleciał elektron, nie zaburzając go na tyle, że znika obraz interferencyjny” (Feynman, Charakter, s. 151)

53 Wykład III Postulaty mechaniki kwantowej
Podstawy matematyczne Liczby zespolone Gerolamo Cardano (Ars Magna, 1545), Raphael Bombelli (L’Algebra, 1572) Przestrzeń Hilberta „Dla wszystkich, którzy nie wierzyli w ‘praktyczne’ aspekty liczb zespolonych, musiało być ogromnym zaskoczeniem, kiedy w ostatnich trzech ćwierćwieczach XX stulecia okazało się, że prawa rządzące zachowaniem się Wszechświata w sposób fundamentalny związane są z liczbami zespolonymi”. Roger Penrose, Droga do rzeczywistości, s. 71

54 Liczby zespolone jednostka urojona liczba urojona bi
liczba zespolona: z = a + bi (a, b – rzeczywiste) z* = a – bi liczba sprzężona do z = a + bi z z* = (a + bi) (a – bi) = a2 + b2 moduł liczby zespolonej postać trygonometryczna liczby zespolonej a + bi = r [cos Θ + i sin Θ] sin Θ = b/r cos Θ = a/r

55 Działania na liczbach zespolonych
jeśli a + bi = c + di, to a = c i b = d a + bi = 0 wtw a = 0 i b = 0 suma liczb zespolonych (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i różnica liczb zespolonych (a + bi) – (c + di) = (a – c) + (b – d)i iloczyn liczb zespolonych (a + bi) (c + di) = (ac – bd) + (ad + bc)i iloraz liczb zespolonych (a + bi) / (c + di) = [(ac + bd) + (bc – ad) i]/ (c2 + d2)

56 Interpretacja geometryczna liczb zespolonych
z = a + bi a Θ b Im

57 Przestrzeń wektorowa u1, u2, u3 – wektory bazy x = a1u1 + a2u2 +a3u3
a1, a2, a3 – współrzędne wektora liniowa niezależność wektorów

58 Iloczyn skalarny wektorów w przestrzeni trójwymiarowej

59 Uogólnienie dla przestrzeni o przeliczalnej liczbie wymiarów
iloczyn skalarny kwadrat długości unormowanie ortogonalność

60 Aksjomaty przestrzeni Hilberta
x, y – wektory ax – mnożenie wektora przez liczbę (zespoloną) x + y = y + x – dodawanie wektorów (a + b) x = ax + bx a(x + y) = ax + ay (ab)x = a(bx) 1x = x (x + y) + z = x + (y + z) x + 0 = 0 + x = x wektor zerowy x0 + y0 = 0, y0 = - x0 element przeciwny

61 (x, y) = (y, x)* - iloczyn skalarny
(x, ay) = a (x, y) (x1 + x2, y) = (x1, y) + (x2, y) (x, x) ≥ 0 Przestrzeń liniowa, w której zdefiniowano iloczyn skalarny nazywa się przestrzenią unitarną

62 kwadrat długości wektora
długość wektora (przestrzeń unormowana) odległość (przestrzeń metryczna) Liniowa przestrzeń wektorowa z określonym iloczynem skalarnym (przestrzeń unitarna) jest jednocześnie przestrzenią metryczną i unormowaną

63 Warunki ciągłości w przestrzeni unitarnej
Ciąg xn zbieżny do x xm – ciąg podstawowy Jeśli każdy ciąg podstawowy w przestrzeni L jest zbieżny do pewnego wektora w tej przestrzeni, to L nazywamy przestrzenią zupełną Przestrzeń Hilberta jest to unitarna przestrzeń zupełna

64 1. Reprezentacja stanu układu
Stan układu kwantowomechanicznego w danej chwili t reprezentowany jest przez wektor w przestrzeni Hilberta  (w notacji Diraca) Inne określenia używane na  to: ket, funkcja falowa, funkcja , amplituda prawdopodobieństwa, funkcja stanu

65 Przestrzeń Hilberta jest abstrakcyjną liniową przestrzenią wektorową nad ciałem liczb zespolonych i pełni w mechanice kwantowej funkcję analogiczną do przestrzeni fazowej (przestrzeni stanów) w mechanice klasycznej W przeciwieństwie do stanów układów klasycznych, stany obiektów kwantowych nie są wielkościami obserwowalnymi (mierzalnymi)

66 Max Born (1926): Ψ(x, y, z, t)2 dxdydz (kwadrat amplitudy zespolonej funkcji falowej) jest proporcjonalny do prawdopodobieństwa tego, że cząstka znajduje się (resp. w rezultacie przeprowadzonego pomiaru znajdziemy cząstkę) w chwili t w elemencie objętości dxdydz.

67 2. Reprezentacja wielkości fizycznych
Wielkości fizyczne mierzalne, takie jak położenie, pęd czy energia, czyli obserwable, reprezentowane są przez liniowe operatory hermitowskie w przestrzeni Hilberta. Wartości własne operatora hermitowskiego są liczbami rzeczywistymi i reprezentują możliwe wyniki pomiarów danej obserwabli.

68 A (a1 1 + a2 2) = a1 A 1 + a2 A 2,
Operatorem A na przestrzeni wektorowej H nazywa się odwzorowanie, które każdemu wektorowi tej przestrzeni przyporządkowuje inny wektor: A:  → ’. Operator A jest liniowy, wtw A (a1 1 + a2 2) = a1 A 1 + a2 A 2, gdzie 1, 2 są wektorami z przestrzeni Hilberta, a1 i a2 to dowolne liczby zespolone.

69 Jeżeli A  = a , to równanie takie nazywa się równaniem własnym operatora A,  — wektorem własnym (resp. funkcją własną), natomiast a — wartością własną. Zbiór wartości własnych operatora nazywa się widmem operatora — może ono tworzyć zbiór ciągły lub dyskretny. Wektory własne liniowego operatora hermitowskiego tworzą zupełny układ wektorów, to jest taki, że każdy wektor stanu da się rozwinąć w szereg wektorów własnych tego operatora.

70 3. Zasada superpozycji stanów
Jeżeli układ może się znajdować w stanach reprezentowanych przez wektory stanu 1, 2,…, to może się on również znajdować w stanie opisywanym przez dowolną kombinację liniową  = a1 A 1 + a2 A 2 + … Stan kwantowy jest superpozycją stanów reprezentowanych przez wektory 1, 2,… Zasada superpozycji jest konsekwencją liniowości przestrzeni Hilberta

71 4. Równanie Schrödingera
Ewolucję układu kwantowomechanicznego w czasie opisuje ciągłe i deterministyczne równanie Schrödingera (liniowe równanie różniczkowe) i d/dt (t) = H(t) (t),  – zredukowana stała Plancka H – hamiltonian (obserwabla odpowiadająca całkowitej energii układu) Indeterminizm wchodzi do QM przez akt pomiaru

72 5. Pomiar i redukcja wektora stanu
Rezultat pomiaru opisany jest w matematycznym schemacie mechaniki kwantowej przez nieciągłą i indeterministyczną zmianę wektora stanu  zwaną również redukcją funkcji falowej albo skokiem kwantowym.

73 Jeżeli  jest wektorem własnym operatora odpowiadającego mierzonej obserwabli, to wynik pomiaru daje się jednoznacznie przewidzieć. Jeżeli wektor stanu  nie jest wektorem własnym operatora odpowiadającego mierzonej obserwabli, to wynik pomiaru nie może być przewidziany jednoznacznie. Wektor  można wówczas rozwinąć w szereg wektorów własnych tego operatora Prawdopodobieństwo tego, że w rezultacie pomiaru układ znajdzie się w stanie reprezentowanym przez wektor własny i i obliczamy z iloczynu skalarnego < i . Współczynniki |ai|2 są proporcjonalne do prawdopodobieństwa otrzymania w pomiarze i-tej wartości własnej ai, odpowiadającej wektorowi własnemu i.

74 Co to jest funkcja falowa 
Co to jest funkcja falowa ? czyli o interpretacjach dualizmu korpuskularno-falowego Podstawowym zagadnieniem współczesnej filozofii fizyki jest, moim zdaniem, rozstrzygnięcie pytania, czy aspekt falowy materii i promieniowania reprezentuje coś realnego i jakiego rodzaju jest to realność. Odpowiedzi na to pytanie są nader rozbieżne i w nich zaznaczyły się główne kierunki myśli filozoficznej [...]. - Czesław Białobrzeski [1984, s. 388] [...] sposób, w jaki musimy opisać Naturę, jest dla nas na ogół niepojęty.  - Richard P. Feynman [1992, s. 81] 

75 Schrödinger – interpretacja gęstości materii
Historycznie pierwsze interpretacja „fali związanej z cząstką” Masa i ładunek elektronu nie są skupione w jednym punkcie, lecz "rozmyte" w określonym obszarze przestrzeni. Masa i ładunek są proporcjonalne do kwadratu modułu funkcji falowej Problemy: we wszystkich przeprowadzonych doświadczeniach rejestruje się zawsze elektron obdarzony całkowitym ładunkiem elementarnym e i masą m i nikt jeszcze nie zaobserwował podziału elektronu na części

76 Schrödinger – realność fal
Odrzucenie realnego istnienia cząstek. Fale materii jako realność fizyczna. Cząstki jako "paczki falowe", które można otrzymać przez liniową superpozycję fal o różniących się długościach. Problemy: "paczka falowa" ma tendencję do "rozmywania się" w przestrzeni w ciągu krótkiego czasu, co przeczyłoby obserwowanej względnej trwałości cząstek.

77 De broglie "powrót do jasnych, kartezjańskich pojęć mieszczących się w ramach przestrzeni i czasu zadowoliłby na pewno wielu uczonych i pozwoliłby uniknąć nie tylko kłopotliwych zarzutów Einsteina i Schrödingera, lecz również pewnych dziwnych konsekwencji obecnej interpretacji" [de Broglie, 1955, s. 140]. Według de Broglie interpretacja kopenhaska, opisując zjawiska kwantowe jedynie przy pomocy ciągłej funkcji , interpretowanej w sposób statystyczny zgodnie ze wzorem Borna, doprowadza logicznie do "pewnego rodzaju 'subiektywizmu' zbliżonego do idealizmu w sensie filozoficznym i prowadzi do zaprzeczenia istnienia realności fizycznej niezależnej od obserwatora. Fizyk jednak jest instynktownie […] i ma do tego słuszne podstawy: interpretacje subiektywistyczne będą zawsze wywoływać u niego uczucie niepokoju i myślę, że ostatecznie byłby szczęśliwy, gdyby się ich pozbył" [de Broglie, 1955, s. 140].

78 De broglie – teoria podwójnego rozwiązania
przyjęcie realności dualizmu i traktowanie cząstek jako osobliwości rozciągłego pola obok ciągłej fali , stanowiącej przedstawienie prawdopodobieństwa "i wobec tego gwałtownie zmieniającą się przez jakiekolwiek wiadomości, które zmieniają naszą znajomość stanu cząstki" [de Broglie, 1955, s. 124], istnieje fala u z osobliwością reprezentująca cząstkę Problem: mechanika kwantowa używa jedynie fal bez osobliwości, a koncepcja de Broglie'a napotkała na nieprzezwyciężalne trudności matematyczne. Później de Broglie zaproponował nieliniowe równanie dla fali u. Konsekwencją tego były jeszcze większe trudności matematyczne, co jest zresztą zwykłą konsekwencją zastosowania równań nieliniowych

79 De Broglie - teoria fali pilota
Teoria fali pilota" - kolejna próba deterministycznej i obiektywistycznej interpretacji mechaniki kwantowej Założenie - realne istnienie cząstek, pojmowanych w sposób klasyczny, które poruszają się kierowane przez związane z nimi fale pełniące rolę pilota (prędkość cząstki jest proporcjonalna do gradientu fazy)

80 Interpretacja kopenhaska
o samych mikroobiektach nie można powiedzieć ani tego, że są cząstkami, ani tego, że są falami, ponieważ pojęcia „cząstka” i „fala” w ogóle „nie oznaczają materialnych przedmiotów czy ich własności, stanowią one jedynie element opisu pewnych eksperymentów”. Mechanika kwantowa nie umożliwia skonstruowania modelu niezależnej od sytuacji eksperymentalnej realności fizycznej na poziomie atomowym i subatomowym, lecz jest jedynie schematem pojęciowym służącym do powiązania ze sobą rezultatów obserwacji.

81 Punktem wyjścia interpretacji kopenhaskiej jest paradoks
Punktem wyjścia interpretacji kopenhaskiej jest paradoks. Każde doświadczenie fizyczne, niezależnie od tego, czy dotyczy zjawisk życia codziennego, czy też mikroświata, może być opisane wyłącznie w terminach fizyki klasycznej. Język pojęć klasycznych jest tym językiem, którym posługujemy się, gdy opisujemy doświadczenia oraz ich wyniki. Pojęć tych nie umiemy i nie możemy zastąpić innymi. Jednocześnie jednak relacje nieoznaczoności ograniczają zasięg stosowalności tych pojęć. O ograniczeniu stosowalności pojęć klasycznych musimy pamiętać, gdy się nimi posługujemy; nie potrafimy jednak udoskonalić tych pojęć. W. Heisenberg, Fizyka a filozofia, s. 26.

82 Zasada komplementarności
w dziedzinie atomowej nie można rozdzielić zachowania się badanych obiektów od zachowania się przyrządów pomiarowych: warunki obserwacji wywierają istotny wpływ na przebieg obserwowanych zjawisk, co powoduje wzajemne wykluczanie się informacji potrzebnych do opisu całości zjawiska. Dwa klasycznie wykluczające się opisy zjawiska fizycznego są komplementarne, jeżeli dla poznania całości potrzebne są obydwa, ale znajomość jednego aspektu wyklucza jednoczesną znajomość drugiego. Komplementarne opisy uzupełniają się i wyczerpują wszelką możliwą wiedzę o układzie — opis falowy i korpuskularny zdają sprawę z równie ważnych aspektów zjawisk atomowych i nie ma między nimi sprzeczności, ponieważ zastosowanie mechanicznych pojęć korpuskuły i fali odnosi się do wzajemnie wykluczających się układów doświadczalnych.

83 1. Niepodzielność zjawisk atomowych: nie można opisać zjawisk atomowych niezależnie od opisu aparatury służącej do ich obserwacji. Założenie to jest niezgodne z fizyką klasyczną, w której oddziaływanie między przyrządem pomiarowym a badanym obiektem może być, teoretycznie rzecz biorąc, dowolnie małe i nie wpływa w istotny sposób na przebieg zjawisk. 2. Klasyczność aparatury pomiarowej: opis aparatury pomiarowej musi być podany w języku fizyki klasycznej (stanowi to, zdaniem Bohra, warunek intersubiektywnej komunikowalności rezultatów doświadczeń w dziedzinie mechaniki kwantowej). 3. Niewspółmierność przyrządów pomiarowych: nie istnieje aparatura pomiarowa służąca do jednoczesnego określenia wielkości komplementarnych.

84 „Właśnie fakt, że stoimy przed alternatywą, mając do wyboru albo wyznaczenie toru cząstki, albo obserwowanie inter­ferencji, uwalnia nas od paradoksalnego wniosku, który bez tego byłby nieunikniony, mianowicie od wniosku, że zachowanie się elektronu (lub fotonu) zależy od obecności otworu w przesłonie, przez który elektron na pewno nie przeszedł. Mamy tu typowy przykład ilustrujący, jak zjawiska komplementarne zachodzą w wyłączających się nawzajem warunkach […]; widzimy też wyraźnie, że w rozpatrywaniu zjawisk kwantowych nie można nakreślić ostrej linii granicznej między niezależnym zachowaniem się obiektów atomowych a ich oddziaływaniem z przyrządem pomiarowym, służącym do określenia warunków, w których zjawiska zachodzą”. N. Bohr, Fizyka atomowa…, s. 74.

85 jeżeli urządzenie pomiarowe pozwala określić, czy cząstka kwantowa przeszła przez szczelinę S1, czy przez szczelinę S2, można wówczas stosować opis korpuskularny i powiedzieć, że foton przeszedł przez S1 albo przez S2 — wtedy nie występuje interferencja. Jeżeli rezygnuje się z eksperymentalnego określenia, przez którą szczelinę przeszła cząstka, wówczas można stosować opis falowy, ale nie można twierdzić, że przeszła ona przez S1 albo przez S2. Zatem pojęciu trajektorii cząstki nie można przypisać określonego sensu, jeżeli eksperymentalne warunki nie pozwalają na jej określenie, a w konsekwencji obiektów kwantowych nie można uważać za klasyczne cząstki.

86 „dwa klasycznie wykluczające się podejścia należy traktować jako wzajemnie uzupełniające się obrazy jednego zjawiska, którego pojęciowe ujęcie bez uwzględnienia konkretnych warunków obserwacji jest niemożliwe”. U. Röseberg, Niels Bohr…, s. 74.

87 Te aspekty zjawisk kwantowych występujące w doświadczeniach przeprowadzanych we wzajemnie wykluczających się warunkach nie są bynajmniej ze sobą sprzeczne, lecz uzupełniają się w pewien nowy sposób — są „komplementarne”. N. Bohr, Fizyka atomowa…, s. 103.

88 Klasycznych obrazów zjawisk kwantowych nigdy nie uda nam się złożyć w taką całość, jak w fizyce klasycznej i skonstruować modelu elementarnych składników materii jako obiektywnych realności fizycznych.

89 […] jeżeli wykonamy doświadczenie dotyczące zjawiska, które w zasadzie wykracza poza obręb fizyki klasycznej, to jego wyniku nie można interpretować jako informacji o niezależnych własnościach przedmiotu; wynik doświadczenia jest z natury rzeczy związany z określoną sytuacją i do charakterystyki tej sytuacji wchodzą jako czynnik istotny przyrządy pomiarowe oddziałujące z przedmiotami. Te ostatnie okoliczności tłumaczą z miejsca pozorne sprzeczności występujące, gdy wyniki doświadczalne, dotyczące obiektu atomowego, uzyskane różnymi układami eksperymentalnymi, próbujemy złożyć w samoistny obraz obiektu.

90 W mechanice kwantowej nie można oddzielić zachowania się obiektu atomowego od jego interakcji z przyrządem pomiarowym. Podczas oddziaływania przyrząd i obiekt tworzą nierozerwalną całość i oddziaływanie przyrządu wpływa w istotny sposób na przebieg zjawisk

91 Opis rezultatów doświadczeń jest zawsze wyrażany pojęciami fizyki klasycznej
Pojęcia te nie są adekwatne do świata atomów i cząstek elementarnych. Każde „jednoznaczne użycie czasoprzestrzennych pojęć w zjawiskach atomowych sprowadza się do rejestrowania obserwacji dotyczących śladów na kliszach fotograficznych lub innych praktycznie nieodwracalnych wyników wzmacniania”. Dla wyrażenia takiej informacji konieczne jest używanie języka, który zawiera takie kategorie, jak „czas”, „przestrzeń” czy „przyczynowość”. Struktura fizyki klasycznej stanowi formę, w której zawsze wyraża się opis doświadczenia. N. Bohr, Fizyka atomowa…, s. 80.

92 Mówi się na przykład ciągle, że teoria kwantów jest niezadowalająca, bo dopuszcza tylko dualistyczny opis przyrody za pomocą komplementarnych pojęć „fala” i „cząstka”. Ten, kto naprawdę zrozumiał teorię kwantów, nie wpadnie na pomysł mówienia w tym miejscu o dualizmie. Uważać będzie teorię za jednolity opis zjawisk atomowych, który może wyglądać różnie tylko tam, gdzie przekładany jest na język potoczny w celu opisywania eksperymentów. Teoria kwantów jest więc wspaniałym przykładem tego, że można z pełną jasnością rozumieć jakąś treść i jednocześnie wiedzieć, że potrafi się ją wyrazić tylko za pomocą obrazów i przypowieści. Obrazy i przypowieści to tutaj pojęcia klasyczne, czyli także „fala” i „ cząstka”. Nie pasują one dokładnie do rzeczywistego świata, wzajemnie są również w stosunku komplementarnym i przez to przeczą sobie. Mimo to, ponieważ przy opisywaniu zjawiska w przestrzeni trzeba trzymać się języka naturalnego, można tylko przybliżać się tymi obrazami do prawdziwego stanu rzeczy.  W. Heisenberg, Część i całość…, s. 264

93 Jeżeli mówimy o „cząstkach” czy „falach”, nie znaczy to jednak, że mikroobiekty są cząstkami lub falami (w znaczeniach przypisywanych tym terminom w fizyce klasycznej), ale jedynie to, że pewne eksperymenty dopuszczają taki sposób mówienia, jak gdyby były one cząstkami, inne natomiast — jak gdyby były falami. Charakterystyki te przestają mieć sens w oderwaniu od konkretnych sytuacji obserwacyjnych.

94 […] gdy próbujemy zastosować dominujący obraz świata oparty na pojęciu cząstki, odkrywamy, że „cząstki” (takie jak elektrony) mogą objawiać się jako fale, że mogą one poruszać się w sposób nieciągły, że w ogóle nie ma praw dotyczących szczegółowego ruchu pojedynczych cząstek i że można jedynie czynić przewidywania statystyczne dotyczące dużych zespołów takich cząstek. Z drugiej strony, jeśli zastosujemy obraz świata, w którym wszechświat jest widziany jako ciągłe pole, to odkryjemy, że pole to musi także być nieciągłe oraz podobne do cząstek i że ten obraz świata jest tak samo niepełny oraz wątpliwy, jak obraz świata rozważanego jako zbiór cząstek. D. Bohm, Ukryty porządek, s. 10.

95 Contraria sunt complementa