III semestr Projektu.

Prezentacja na temat: "III semestr Projektu."— Zapis prezentacji:

1 III semestr Projektu

2 Dane informacyjne szkoły zapraszającej w projekcie MGP
Nazwa szkoły: Gimnazjum im. Noblistów Polskich w Koźminku ID grupy: 98/44_mf_g2 Opiekun: p. Edyta Trocha Kompetencja: Matematyczno - fizyczna Temat projektowy: W świecie liczb Semestr/rok szkolny: Semestr III, rok szkolny 2010/2011

3 Gimnazjum z Koźminka 1.Katarzyna Janiak 2.Kinga Humelt
3.Karolina Trzcińska 4.Ewelina Murawska 5.Kamil Krakus 6.Adrian Wesołowski 7.Kamil Kapłonek 8.Tobiasz Kawecki 9.Szymon Wojciechowski 10.Józef Muszyński 11.Klaudia Antczak 12.Aleksandra Pietura 13.Kinga Jędrzejak 14.Piotr Kostera 15.Tomasz Jaśkiewicz

4 Dane informacyjne szkoły zapraszanej w projekcie MGP
Nazwa szkoły: Gimnazjum im. Królowej Jadwigi we Wschowie ID grupy: 98/87_MF_G1 Opiekun: p. Teresa Czapiewska - Jędrzychowska Kompetencja: Matematyczno - fizyczna Temat projektowy: W świecie liczb Semestr/rok szkolny: Semestr III, rok szkolny 2010/2011

5 Gimnazjum ze Wschowy 1.Agnieszka Gąsiorek.
2. Nicole Kamińska 3. Michał Kroma 4. Wojciech Mały 5. Agnieszka Marciniak 6. Martyna Mielnik 7. Natalia Młynarczak 8. Aleksandra Rybka 9.Oktawia Suda 10. Katarzyna Walner 11. Jarosław Urbanowicz

6 Wprowadzenie… W ramach realizacji zajęć projektowych MGP w III semestrze projektu „Z fizyką, matematyką i przedsiębiorczością zdobywamy świat” kontynuowaliśmy współpracę z Gimnazjum im. Królowej Jadwigi ze Wschowy z woj. lubuskiego. Działania projektu wymagają od uczniów zintegrowanej wiedzy, umiejętności rozwiązywania problemów oraz stosowania technik komputerowych. W czasie realizacji projektu młodzież ma okazję do zaprezentowania swoich twórczych i oryginalnych pomysłów oraz nauczyć się współpracy w grupie i z innymi grupami. Temat projektu jaki wspólnie opracowaliśmy to „W świecie liczb”. Przygotowaliśmy prezentację wiedzy o fascynujących liczbach i ich wykorzystaniu w życiu codziennym.

7 Naszymi wspólnie założonymi celami było:
Popularyzowanie matematyki wśród młodzieży gimnazjalnej, inspirowanie i rozwijanie zainteresowań matematycznych. Rozwijanie umiejętności: stosowania wiedzy w praktyce, analizowania zadania z tekstem, selekcjonowania i przetwarzania informacji. Kształcenie sprawności rachunkowej Nabycie umiejętności planowania i rozliczania się ze wspólnie podejmowanych działań Współpracowaliśmy zdalnie korzystając z poczty elektronicznej , portalu i tradycyjnej poczty. Realizatorzy projektu opracowali wybrane przez siebie zadania wykorzystując różne źródła wiedzy m.in. Internet, podręczniki, zbiory zadań , arkusz kalkulacyjny do tworzenia symulacji np. mini kalkulatory płacowe. Nasze Gimnazjum z Koźminka i Gimnazjum ze Wschowy, pracowało nad projektem według wspólnie ustalonej karty pracy-instrukcji dla ucznia.

8 Zapraszamy do obejrzenia …
W świecie liczb Zapraszamy do obejrzenia …

9 Co jest najmądrzejsze. Liczba. Co jest najpiękniejsze. Harmonia
Co jest najmądrzejsze? Liczba. Co jest najpiękniejsze? Harmonia. Czym jest cały świat? Liczbą i harmonią Pitagoras

10 Świat liczb… Liczby fascynowały ludzi od czasów babilońskich. To one miały tłumaczyć tajemnicę wszechświata i Boga, rozumu ludzkiego i muzyki; to one miały sens absolutny i magiczny. To one wreszcie przydawały się i przydają do liczenia... Już starożytni wiedzieli, że liczby są kluczem do poznania i zrozumienia zarówno natury ludzkiej, jak i zasad rządzących światem.

11 Podział liczb rzeczywistych

12 Liczby naturalne… "Liczby naturalne stworzył dobry Bóg, a całą resztę wymyślili ludzie" - powiedział wybitny matematyk niemiecki XIX wieku, Leopold Kronecker. Liczby naturalne znano od niepamiętnych czasów, jako że mają one związek z praktyczną działalnością człowieka, czyli liczeniem przedmiotów. Leopold Kronecker (1823 – 1891)

13 Liczby naturalne… Zbiór liczb naturalnych dodatnich zapisujemy następująco: Zbiór wszystkich liczb naturalnych zapisujemy następująco:

14 Liczby naturalne mogą także wyrażać porządek – następna liczba naturalna n ustawia się za swoją poprzedniczką, czyli liczbą podążając drogą ku nieskończoności. Symbole cyfrowe, których używamy obecnie do zapisywania liczb naturalnych zawdzięczamy Arabom. To oni „przywieźli” cyfry zwane dziś „arabskimi” z północnych Indii, gdzie znane były od V wieku n.e. W Europie hindusko – arabski system liczbowy propagował w XIII wieku Leonardo z Pizy.

15 Liczby pierwsze… Liczbą pierwszą nazywamy każdą liczbę naturalną n większą od 1, której jedynymi dzielnikami są 1 oraz n. Początkowe liczby pierwsze to : 2,3,5,7,11,13,17,19,... Euklides ok. 365 p.n.e – ok. 300 p.n.e Już grecki matematyk Euklides wykazał, że istnieje nieskończenie wiele liczb pierwszych. Posłużył się w tym celu tzw. dowodem „nie wprost” .

16 Sito Erastotenesa… Czyli poszukiwanie liczb pierwszych

17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99

18 Pytanie… Dlaczego liczby 0 i 1 nie są wykreślone, tak jak liczby złożone, i nie są w kółeczkach, tak jak liczby pierwsze? Liczby 0 i 1 nie są ani pierwsze, ani złożone.

19 Liczby pierwsze… Liczby pierwsze w matematyce mają podobne znaczenie , jak w fizyce cząsteczki materii. To cegiełki, podstawowe klocki, z których można zbudować liczby złożone, czyli liczby naturalne większe od 1, które nie są liczbami pierwszymi. Euklides udowodnił, że: Każdą liczbę naturalną n>2 można w jeden tylko sposób przedstawić w postaci iloczynu liczb pierwszych. np. 12=2*2*3 75900 =

20 Liczby pierwsze Pobity został kolejny rekord poszukiwań liczb pierwszych. Dwudziestoletni Kanadyjczyk Michael Cameron znalazł największą taką liczbę ze znanych obecnie. Liczba ta składa się z  cyfr i ma postać ,

21 Jak szukamy liczb pierwszych?
Przepis, obecnie nazywany sitem Eratostenesa, stosowano już w starożytności i... tak naprawdę to do dziś praktycznie nie wymyślono nic szybszego i bardziej skutecznego. Metoda jest bardzo prosta: wypisujemy kolejne liczby naturalne, począwszy od dwójki. Następnie skreślamy wszystkie liczby podzielne przez dwa, oprócz niej samej. Potem wybieramy pierwszą nie skreśloną liczbę i skreślamy wszystkie większe liczby przez nią podzielne i tak dalej.

22 Liczby całkowite W zbiorze liczb naturalnych nie jest wykonalne odejmowanie. Zaistniała więc konieczność utworzenia zbioru, do którego należałyby, oprócz liczb naturalnych, wszystkie ich różnice, np. 2 – 7, 0 – W ten sposób powstał zbiór liczb całkowitych. Zbiór liczb całkowitych oznaczamy C. C = { ..., -4, -3, -2, -1 }  N C = { ..., -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...} C = { ..., -4, -3, -2, -1 }  { 0 }  { 1, 2, 3, 4, ... } C = C-  { 0 }  C+ 1 2 3 4 5 6

23 Liczby wymierne… Liczbę nazywamy wymierną, jeżeli można przedstawić ją w postaci ułamka zwykłego, którego licznik i mianownik są liczbami całkowitymi i mianownik jest różny od zera. Zbiór liczb wymiernych zapisujemy następująco: Przykłady liczb wymiernych:

24 Liczby wymierne… Zbiór liczb wymiernych jest gęsty tzn. między dowolnymi dwiema liczbami wymiernymi zawsze znajdziemy liczbę wymierną.

25 Liczby wymierne… W V w. p.n.e. Pitagoras i jego uczniowie dokonali prawdziwie dramatycznego odkrycia. Stwierdzili bowiem, że długość przekątnej kwadratu o boku jednostkowym nie jest liczbą wymierną To burzyło ich dotychczasowy porządek i boskie proporcje świata. „Wszystko jest liczbą ?!” Pitagoras (ok p.n.e)

26 Pitagorejczycy postanowili trzymać w tajemnicy fakt odkrycia liczb niewymiernych, ale jeden z członków Związku Pitagorejskiego, Hippasus, zdradził ów sekret. Według legendy został za karę utopiony przez kolegów matematyków. Liczby niewymiernej nie możemy zapisać w postaci ułamka zwykłego. Każdą liczbę niewymierną możemy przedstawić w postaci nieskończonego i nieokresowego rozwinięcia dziesiętnego. 1

27 Metoda rysowania odcinków…
Rysunek przedstawia metodę rysowania odcinków, będących pierwiastkami kolejnych liczb naturalnych. Wszystkie trójkąty prostokątne jedną przyprostokątną mają o długości 1. Wykorzystując wzór Pitagorasa liczymy długość przeciwprostokątnej. W ten sposób można skonstruować odcinek o dowolnej długości. 1 2

28 Liczby niewymierne… liczba Archimedesa: 
L – długość okręgu r – promień okręgu L 2r

29 Wprowadził pojęcie środka ciężkości.
Archimedes z Syrakuz… Archimedes z Syrakuz - najwybitniejszy matematyk, fizyk i inżynier starożytnej Grecji, prekursor rachunku całkowego. Obliczył objętość kuli. Twórca nowych metod w arytmetyce i teorii dźwigni, wyporu, rzutu pionowego i ukośnego. Wprowadził pojęcie środka ciężkości.

30 Liczba  … Babilończycy (ok. 2000 r. p.n.e.)
Egipcjanie (ok. 2000 r. p.n.e.) Archimedes (III w. p.n.e.) - matematyk i fizyk grecki Klaudiusz Ptolemeusz - matematyk grecki Alchwarizmi - uczony arabski

31 Liczba  pojawia się w wielu wzorach:
P =p r2 Obw =2p r P = 4 p r2 V = p r3 P =2 p r(r+h) V =p r2 h

32 Liczba  …  jest liczbą niewymierną !
Nazwa ludolfina pochodzi od imienia Ludolfa van Ceulena (1540 – 1610), pierwszego nowożytnego badacza , który, aż do swej śmierci, próbował obliczyć wartość liczby . Sądził bowiem, podobnie jak współcześni jemu matematycy, że  jest liczbą wymierną. Udało mu się podać 35 początkowych cyfr rozwinięcia dziesiętnego.  jest liczbą niewymierną !

33 Liczba  … Poszukiwania coraz dokładniejszych rozwinięć dziesiętnych liczby  nadal trwają. Yasumasa Kanada 20 VIII 1999 roku podał ponad 206 miliardów cyfr rozwinięcia dziesiętnego ludolfiny.

34 Liczba  jest ,,bohaterką" wiersza W. Szymborskiej.
Podziwu godna liczba Pi trzy koma jeden cztery jeden. Wszystkie jej dalsze cyfry też są początkowe, pięć dziewięć dwa ponieważ nigdy się nie kończy. Nie pozwala się objąć sześć pięć trzy pięć spojrzeniem osiem dziewięć obliczeniem siedem dziewięć wyobraźnią, a nawet trzy dwa trzy osiem żartem, czyli porównaniem cztery sześć do czegokolwiek dwa sześć cztery trzy na świecie…

35 Ludolfina… W 1883 r. niemiecki matematyk Ferdynand Lindemann udowodnił, że ludolfina jest tzw. liczbą przestępną, tzn. nie można wykonać konstrukcji odcinka o długości  za pomocą cyrkla i linijki. Ferdynand Lindemann (1852 – 1939) Był to kres nadziei na możliwość kwadratury koła. Od tamtego czasu zainteresowanie tym problemem spadło niemal do zera. Pracują nad nim tylko ci, którzy wierzą też w możliwość konstrukcji perpetuum mobile.

36 Słynny pi- emat… Przez wiele lat ludzie zastanawiali się, jak najprościej zapamiętywać liczbę . Najczęściej używaną sztuczką mnemotechniczną jest zapamiętanie wierszyka, w którym liczba liter kolejnego słowa to cyfra w rozwinięciu dziesiętnym . Po polsku rozpowszechniony jest wierszyk z 1930 roku autorstwa Kazimierza Cwojdzińskiego: „Kuć i orać w dzień zawzięcie, bo plonów niema bez trudu! Złocisty szczęścia okręcie, Kołyszesz... Kuć! My nie czekajmy cudu. Robota to potęga ludu’’

37 Liczba  … Liczba  to stała matematyczna określająca również stosunek długości okręgu koła do długości jego średnicy. Używany dzisiaj symbol  wprowadził w 1706 roku William Jones w książce pt. „Synopsis Palmariorum Matheseos” Symbol  został spopularyzowany w połowie XVIII w. przez matematyka i fizyka szwajcarskiego Leonarda Eulera ( ).

38 Twierdzenie Eulera… Jeżeli wielościan wypukły ma w wierzchołków, k krawędzi, s ścian, to w – k + s = 2. Korzystając z tego twierdzenia możemy wykazać, że istnieje tylko pięć wielościanów foremnych.

39 Twierdzenie Eulera: 4 – 6 + 4 = 2
Czworościan foremny … Z pośród znanych wielościanów foremnych czworościan ma najmniejszą ilość ścian, wierzchołków i krawędzi. Czworościan foremny jest ostrosłupem. tetraedr Twierdzenie Eulera: – = 2 Liczba wierzchołków = 4 Liczba krawędzi = 6 Liczba ścian = 4

40 Twierdzenie Eulera: 8 – 12 + 6 = 2
Sześcian foremny … Sześcian foremny, zwany kostką jest graniastosłupem. Zbudowany jest z sześciu ścian. Sześcian jest prostopadłościanem o przystających bokach. heksaedr Liczba wierzchołków = 8 Liczba krawędzi = 12 Liczba ścian = 6 Twierdzenie Eulera: – = 2

41 Twierdzenie Eulera: 6 – 12 + 8 = 2
Ośmiościan foremny … To wielościan foremny o 8 ścianach w kształcie identycznych trójkątów równobocznych. Liczba wierzchołków = 6 Liczba krawędzi = 12 Liczba ścian = 8 oktaedr Twierdzenie Eulera: – = 2

42 Dwunastościan foremny …
Dwunastościan foremny jako jedyny wielościan foremny ma ściany w kształcie pięciokąta. Jego wszystkie wypukłe kąty dwuścienne wyznaczone przez ściany o wspólnej krawędzi mają równe miary. dodekaedr Twierdzenie Eulera: – = 2 Liczba wierzchołków = 20 Liczba krawędzi = 30 Liczba ścian = 12

43 Dwudziestościan foremny …
Dwudziestościan foremny zbudowany jest z trójkątów równobocznych. Ma on największą liczbę ścian, wierzchołków i krawędzi spośród wielościanów foremnych. ikosaedr Liczba wierzchołków = 12 Liczba krawędzi = 30 Liczba ścian = 20 Twierdzenie Eulera: – = 2

44 Sudoku… 数独

45 Co to jest sudoku… Sudoku -jest to łamigłówka
wymyślona w 1783 roku przez genialnego matematyka z Bazylei, Leonharda Eulera. Popularność na świecie zyskała dzięki dołączaniu jej do wielu znaczących gazet .

46 O co chodzi w sudoku… Sudoku to kwadrat 9x9, dodatkowo podzielony na mniejsze kwadraty 3x3. Puste pola kwadratu należy wypełnić w taki sposób, aby w każdym poziomym wierszu, w każdej pionowej kolumnie oraz wewnątrz każdego mniejszego dziewięciopolowego kwadratu znalazły się cyfry od 1 do 9. Inne odmiany Sudoku: Sudoku trójwymiarowe, w kształcie kostki sześciennej o wymiarach 9x9x9.

47 Historia sudoku… 1970 – Pierwsza zagadka polegająca na wstawianiu liczb ukazała się w amerykańskim czasopiśmie z łamigłówkami matematycznymi. 1984 – Japończycy rozpoczęli drukowanie zadań liczbowych w codziennych gazetach. 1986 – Sudoku przybrało ostateczną, znaną dziś formę. 2004 – Sudoku podbija Wielką Brytanię. Modę na Sudoku zapoczątkował brytyjski dziennik „The Times”. 2005 – Sudoku dociera do Polski, gdzie zostaje opublikowane przez tygodnik „Polityka”. 2005 – W Polsce odbywają się pierwsze mistrzostwa w Sudoku.

48 Kto może grać w sudoku… Jeśli: lubisz łamigłówki,
nie lubisz wykonywać rachunków matematycznych, jesteś cierpliwy, potrafisz logicznie myśleć, masz trochę wolnego czasu, to znaczy, że Sudoku jest właśnie dla Ciebie . Tylko uważaj… Sudoku wciąga!!!

49 Przykłady liczb niewymiernych…
liczba Nepera: e = 2, John Neper żył w latach 1550 – 1617 ; matematyk szkocki, wynalazca logarytmów. Sporządził tablice logarytmów liczb i funkcji trygonometrycznych.

50 Zbiór liczb … R NW W C N N+ R – zbiór liczb rzeczywistych W – zbiór liczb wymiernych NW – zbiór liczb niewymiernych C - zbiór liczb całkowitych N – zbiór liczb naturalnych N+ – zbiór liczb naturalnych dodatnich

51 Liczby zespolone… z = a + bi
Liczbą zespoloną z nazywamy uporządkowaną parę liczb rzeczywistych. Liczbę z możemy zapisać w postaci sumy: z = a + bi, gdzie a,b są liczbami rzeczywistymi, a liczba i jest tzw. jednostką urojoną. Jednostka urojona i ma niespotykaną w zbiorze R własność: i2 = -1. z = a + bi a- część rzeczywista liczby zespolonej(Re z) b- część urojona liczby zespolonej(Im z)

52 Liczby zespolone… Liczb zespolonych nie można przedstawić jednej na osi liczbowej. Potrzebują one całej płaszczyzny, wyznaczonej przez dwie osie. Liczby zespolone interpretujemy geometrycznie jako punkty płaszczyzny. Liczbie zespolonej a + bi odpowiada punkt o współrzędnych płaszczyzny z prostokątnym układem współrzędnych.

53 Złota liczba  … Złota liczba wyraża proporcję zwaną złotym lub boskim podziałem, kiedy całość odcinka ma się do jego większej części tak, jak ta większa część do mniejszej. B A C

54 Złota liczba  … Punkt dzielący odcinek leży na nim w takim miejscu, że cały odcinek ma się do swojej większej części jak większa część do mniejszej części odcinka. y a – długość odcinka x – długość większej części y – długość mniejszej części

55 Złota liczba  jest wymierna …
Oto jej rozwiniecie dziesiętne:

56 Złoty podział Hippasus…
Pierwszy wyrysował złoty podział Hippasus, jeden z członków Związku Pitagorejczyków, w V w. p.n.e. Symbolem tego związku był pentagram, czyli pięcioramienna gwiazda, której każde ramię pozostawało w złotej proporcji. b a b

57 PENTAGRAM…

58 Właściwości Pentagramu…
Stosunek długości przekątnej i boku pięciokąta foremnego opisanego na pentagramie jest złoty. Suma kątów przy wszystkich wierzchołkach pentagramu wynosi 180°

59 Złoty prostokąt… Złoty prostokąt – to taki prostokąt w którym stosunek dłuższego boku do krótszego jest liczbą złotą. Stosunek boków dużego prostokąta wynosi a małego . Jeśli porównamy te stosunki otrzymujemy złotą proporcję.

60 Złota spirala… Powtarzając wielokrotnie operację odcinania kwadratów ze złotego prostokąta, otrzymujemy nieskończenie wiele małych kwadratów. Kiedy wpiszemy w kwadraty ćwiartki okręgów otrzymujemy złotą spiralę.

61 Spirale … Spiralnie układające się łuski szyszki sosny, układ liści na łodygach roślin, segmentacja owadów to wszystko wykazuje niesamowite posłuszeństwo liczbie φ To nie są jedyne przykłady!

62 Spirale …

63 Złota proporcja w sztuce…
Leonardo da Vinci był zafascynowany liczbą φ. Umieszczał ją praktycznie w każdym obrazie. Szczególnym tego przykładem jest blado żółty rysunek z nagim mężczyzną „Człowiek witruwiański”

64 Złota proporcja … Złotą proporcją kierowali się także znani artyści tacy jak: Michał Anioł, Albrecht Durera i wielu innych …

65 Budowle… Sławne budowle w których występuje złota proporcja to rzymski Pantenon, egipskie piramidy, Parntenon w Atenach, a także siedziba ONZ w Nowym Jorku

66 Złota proporcja w ciele człowieka…
Odległość od czubka głowy do podłogi podzielona przez odległość od pępka do podłogi.

67 Złota proporcja w ręce człowieka…
Odległość między ramieniem a czubkiem palców, podzielona przez odległość między łokciem a czubkiem palców.

68 Ciekawe własności liczby
Przypomnijmy:

69 Przybliżenie złotej proporcji…
Przybliżeniem złotej proporcji jest stosunek 8:5, jeszcze lepszym 13:8 albo 21:13, 34:21, 55:34, 89:55 itd. . Liczby tworzące te stosunki to wyrazy znanego od XII wieku ciągu liczbowego zwanego ciągiem Fibonacciego. Leonardo z Pizy (Fibonacci) (ok – ok. 1250)

70 Liczby Fibonacciego w naturze…
Łuski ananasa, szyszek sosnowych, pestki w słonecznikach tworzą dwa układy linii spiralnych prawoskrętnych i lewoskrętnych. Liczby tych spiral to kolejne liczby Fibonacciego. Liczby Fibonacciego rządzą układem liści prawie wszystkich roślin. Niektóre drzewa rozrastają się według modelu Fibonacciego: każda gałąź przez pierwszy rok jedynie wzrasta, a w każdym następnym roku wypuszcza jedną młodą gałąź.

71 Ciąg Fibonacciego… Ciąg Fibonacciego to ulubiony ciąg przyrody np. róże tego smakowitego kalafiora, poczynając od czubka, układają się spiralnie. Jeśli policzymy liczbę lewo – i prawoskrętnych spiral, to okaże się, że są to wyrazy ciągu Fibonacciego. Podobną liczbę spiral tworzą ziarna słonecznika i łuski szyszki.

72 Ciąg Fibonacciego…

73 Sposób przyrastania gałęzi dębu…

74 Etap rozwoju królików…
Każda para królików staje się płodna po miesiącu. Króliki rodzą co miesiąc nową parę.

75 Występowanie liczb Fibonacciego…
Jeszcze jedną ciekawostką dotyczącą ciągu jest spirala Fibonacciego. Najlepszym jej przykładem w przyrodzie są muszle Gdyby spojrzeć na muszlę łodzika w przekroju widać, że ułożona jest spiralnie i zbudowana z szeregu komór.

76 Spirala… Dzięki liczbom oraz dzięki złotemu podziałowi skonstruował też spiralę...

77 Spirala…

78 Muszle… Wynika to z faktu, że im są większe, tym szybciej rosną. Być może trudno uwierzyć, że układ muszli zgodny jest z jakimkolwiek ciągiem, ale wystarczy spojrzeć na graficzny obraz spirali Fibonacciego.

79 Spirala w ananasie…

80 Słonecznik…

81

82 Spirala w kosmosie…

83 Spirala w kosmosie…

84 Co to jest ciąg Fiboncciego…
Ciąg Fibonacciego – ciąg liczb naturalnych określony rekurencyjnie w sposób następujący: 0 dla n=0; Fn = 1 dla n=1; Fn-1 + Fn-2 dla n>1. Pierwsze dwa wyrazy ciągu równe są 1, każdy następny jest sumą dwóch poprzednich.

85 Co to jest ciąg Fiboncciego…
Kolejne wyrazy tego ciągu nazywamy liczbami Fibonacciego. Kwestia, czy zaliczać zero do ciągu Fibonacciego jest dyskusyjna. Część autorów rozpoczyna ciąg od F1=1, F2=1 Wyrazy ciągu Fibonacciego F0 … F19 to : 0, 1, 1 , 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, Ciąg został podany w 1202 roku przez Fibonacciego w Jego dziele Księga rachunków jako rozwiązanie zadania o rozmnażaniu się królików.

86 Liczby bliźniacze.. Liczbami bliźniaczymi nazywamy dwie liczby pierwsze różniące się o 2. Przykładami par takich liczb są: 3i5, 5i7, 11i13, 17i19. Parą największych liczb bliźniaczych są: –1

87 Liczby doskonałe.. Liczbami doskonałymi nazywamy liczby naturalne n, które są równe sumie wszystkich swoich dzielników mniejszych od n. Przykładami takich liczb są: 6 = 1+2+3, 28 = , 496 = , (Sprawdź sam(a) !!!). Cztery podane liczby znał już matematyk grecki Euklides (IV w. p.n.e.).

88 Liczby zaprzyjaźnione…
Liczby zaprzyjaźnione to takie liczby naturalne m i n, które spełniają następujący warunek: suma wszystkich, mniejszych od m, dzielników naturalnych liczby m , równa jest n i jednocześnie suma wszystkich, mniejszych od n, dzielników naturalnych liczby n równa jest m. Warto zauważyć, że każda liczba doskonała jest zaprzyjaźniona sama ze sobą.

89 Liczby trójkątne… Nazwa "liczby trójkątne" pochodzi stąd, że każda taka liczba  o numerze n jest liczbą np. kół jednakowej wielkości, z których można ułożyć trójkąt równoboczny o boku  zbudowanym z n kół Oto sposób odnajdywania kolejnych liczb trójkątnych i zarazem ich geometryczna ilustracja:                                                                                                                      

90 Zależność na n-tą liczbę trójkątną można więc wyrazić za pomocą wzoru:
Poniższa tabela ilustruje zależność między numerem liczby trójkątnej , a samą liczbą trójkątną. Numer liczby 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 Liczby trójkątne 15 21 28 36 45 55 66 78 91 Zależność  na n-tą liczbę trójkątną można więc wyrazić za pomocą wzoru:                                                                                                                                            

91 Liczby kwadratowe… Nazwa "liczby kwadratowe" pochodzi stąd, że każda taka liczba  o numerze n jest liczbą np. kół jednakowej wielkości, z których można ułożyć kwadrat o boku  zbudowanym z n kół. Oto sposób odnajdywania kolejnych liczb kwadratowych i zarazem ich geometryczna ilustracja:                                                                                                                            

92 Zależność… Poniższa tabela ilustruje zależność między numerem liczby kwadratowej  a samą liczbą kwadratową: Numer liczby 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Liczby kwadratowe 16 25 36 49 64 81 100 Zależność tę wyraża wzór:                                                                                                                gdzie n jest liczbą naturalną.

93 Co to są liczby lustrzane?
32 | 23 45 | 54

94 Liczby lustrzane… Jakie liczby powstaną z połączenia liczb lustrzanych? 3223 32 | 23 4554 45 | 54

95 Liczby lustrzane… 293 3223 : 11 = 414 4554 : 11 =
Sprawdź, czy podane liczby lustrzane dzielą się przez 11. 3223 : 11 = 293 4554 : 11 = 414

96 Dlaczego liczby lustrzane dzielą się przez 11?
Policz sumę cyfr stojących w liczbach lustrzanych na nieparzystych miejscach, licząc od prawej strony. 4554 4 + 5 = 9 Oblicz różnicę pomiędzy otrzymanymi sumami: 9 – 9 = 0

97 Cecha podzielności przez 11.
To jest właśnie cecha podzielności przez 11. Jeżeli różnica pomiędzy sumą cyfr stojących na nieparzystych miejscach i sumą cyfr stojących na miejscach parzystych jest równa 0 lub jest wielokrotnością liczby 11, to liczba ta jest podzielna przez 11.

98 Najpiękniejszy wzór matematyki…
Wzór e i +1=0 w zadziwiająco prosty sposób łączy w sobie pięć najsłynniejszych stałych matematycznych, które odkryto niezależnie w różnym czasie i zagadnieniach.

99 Ciekawe zależności… Ciekawe zależności pomiędzy wybranymi liczbami...

100 Mnożąc liczbę 3 x 37 uzyskujemy wynik 111.
3 x 37 = = 3 Powiększamy naszą mnożną o 3 i wykonując poprzednie czynności uzyskujemy... 6 x 37 = = 6 9 x 37 = = 9 12 x 37 = = x 37 = = x 37 = = x 37 = = x 37 = = x 37 = = 27

101 Ciekawe zależności… 1 x 1 = 1 11 x 11 = 121 111 x 111 = 12321
1111 x 1111 = x = x = x = x = x =

102 Ciekawe zależności… 1 x 9 + 2 = 11 12 x 9 + 3 = 111 123 x 9 + 4 = 1111
1234 x = x = x = x = x = x =

103 Liczba zero… Już w VII wieku p.n.e. Babilończycy stosowali zero w zapisie pozycyjnym, ale nigdy nie występowało ono samodzielnie. W Cywilizacji Majów zero istniało jako liczba już w I w. p.n.e., ale Majowie nie rozpowszechnili tej idei poza Amerykę Środkową. Liczbę i oznaczającą ja cyfrę zero wprowadzili Hindusi. Nazwa "Zero" o podobnym brzmieniu w większości języków europejskich pochodzi od arabskiego słowa "sifr" co oznacza pustka.

104 Liczba Szecherezady… Liczba Szecherezady - oczywiście jest to 1001 – tyle co nieśmiertelnych bajek 1000 i 1 nocy. Ma ona nawet ciekawe własności, np. • jest najmniejszą czterocyfrową liczbą naturalną, którą można przedstawić w postaci sumy sześcianów dwóch liczb naturalnych: 1001 = • składa się z 77 „pechowych” 13 lub 91 jedenastek lub 143 siódemek

105 Pechowa trzynastka… 13 to liczba naturalna. Ma znaczenie w symbolice liczb jako pechowa 13 jest jedyną liczbą naturalną będącą pierwiastkiem czwartego stopnia z sumy kwadratów dwóch kolejnych liczb naturalnych. Triskaidekafobia to irracjonalna wiara, że liczba 13 i wszystko, co z nią związane, bezwarunkowo przynosi pecha.

106 Liczby … Niezwykłe związki między liczbami mogą skłaniać do ogólniejszych refleksji; do zastanawiania się nad znaczeniem pojęcia liczby, nad naturą i potęgą matematyki. Wielu ludzi ma liczby, które darzy sympatią, czy też takie, które uważa za nieprzyjazne. Dla matematyka każda liczba jest wyjątkowa i wszystkie są ciekawe.

107 Przysłowia liczbowe… Co dwie głowy to nie jedna.
Do trzech razy sztuka. Gdzie dwóch się bije, tam trzeci korzysta. Częstokroć człowiek, chcąc minąć jeden dół, wpadnie w drugi. Jeden dzień może być perłą, a wiek cały może nic nie znaczyć. Jeden ma w głowie, drugi ma w rękach. Kto pyta, jest głupcem pięć minut; kto nie pyta, pozostaje nim na całe życie. Zdrowy rozsądek to zbiór uprzedzeń nabytych do osiemnastego roku życia. Ciekawość to pierwszy stopień do piekła. Gdzie kucharek sześć tam nie ma co jeść.

108 Liczby i systemy liczbowe w informatyce…

109 Co to są systemy liczb ? System liczbowy – to zbiór reguł jednolitego zapisu i nazewnictwa liczb. Do zapisywania liczb używa się skończonego zbioru znaków, zwanych cyframi, które można łączyć w dowolnie długie ciągi, otrzymując nieskończoną liczbę kombinacji.

110 Zastosowanie systemow liczbowych?
Systemy liczbowe, największe zastosowanie mają w informatyce. Z racji reprezentacji liczb w pamięci komputerów za pomocą bitów, najbardziej naturalnym systemem w informatyce jest dwójkowy system liczbowy. W okresie pionierskich czasów komputeryzacji ważną rolę odgrywał system ósemkowy, który spotyka się niekiedy do dziś. Natomiast naturalny dla ludzi system dziesiętny został wprowadzony dopiero wraz z powstaniem języków programowania wyższego poziomu, których celem było jak największe ułatwienie w korzystaniu z komputerów.

111 Ze względu na specyfikę architektury komputerów, gdzie często najszybszy dostęp jest do adresów parzystych, albo podzielnych przez 4, 8 czy 16, często używany jest szesnastkowy system liczbowy. Sprawdza się on szczególnie przy zapisie dużych liczb takich jak adresy pamięci, zakresy parametrów itp. System szesnastkowy często spotykany jest też na stronach WWW, gdzie stosowany jest do zapisu kolorów.

112 Dwójkowy system liczbowy…
Dwójkowy system liczbowyto system liczbowy, w którym podstawą jest liczba 2. Do zapisu liczb potrzebne są więc tylko dwie cyfry: 0 i 1. Historia: Używał go już John Napier w XVI wieku, przy czym 0 i 1 zapisywał jako a i b. Wykorzystanie: Powszechnie używany w elektronice cyfrowej, gdzie minimalizacja liczby stanów pozwala na prostą implementację sprzętową odpowiadającą zazwyczaj stanom wyłączony i włączony oraz zminimalizowanie przekłamań danych. Co za tym idzie, przyjął się też w informatyce.

113 Dziesiątkowy system liczbowy…
Opis: Dziesiętny system liczbowy zwany też systemem decymalnym lub arabskim to pozycyjny system liczbowy, w którym podstawą pozycji są kolejne potęgi liczby 10. Do zapisu liczb potrzebne jest więc w nim 10 cyfr: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Jak w każdym pozycyjnym systemie liczbowym, liczby zapisuje się tu jako ciąg cyfr, z których każda jest mnożnikiem kolejnej potęgi liczby stanowiącej podstawę systemu. Część całkowitą i ułamkową oddziela separator dziesiętny.

114 Dwunastkowy system liczbowy…
Dwunastkowy system liczbowy pozycyjny system liczbowy, w którym podstawą pozycji są kolejne potęgi liczby 12. Do zapisu liczb potrzebne jest dwanaście cyfr. Poza cyframi dziesiętnymi od 0 do 9 używa się pierwszych dwóch liter alfabetu łacińskiego: A i B. Historia: System dwunastkowy używany był na Bliskim Wschodzie, w Babilonii używano go równolegle z systemem dziesiętnym, z tym, że system dwunastkowy stosowano przy skomplikowanych obliczeniach W niewielkim zakresie systemu dwunastkowego używano także w starożytnym Rzymie, gdzie starożytna jednostka monetarna As składała się z 12 uncji.

115 Szesnastkowy system liczbowy…
Szesnastkowy system liczbowy– pozycyjny system liczbowy, w którym podstawą jest liczba 16. Skrót hex pochodzi od angielskiej nazwy hexadecimal. Do zapisu liczb w tym systemie potrzebne jest szesnaście cyfr. Wykorzystanie: Informatyka: Szesnastkowy system liczbowy stosuje się w informatyce, w przypadku programowania niskopoziomowego, sterowania sprzętem komputerowym wyboru adresów Internet: Adresy IP np. w wersji 6 są podawane w pozycyjnym systemie szesnastkowym np.: 3ffe:0902:0012:0000:0000:0000:0000:0000/48 Programowanie: Zapisywanie danych Formatowanie tekstów: Zmiana koloru itd..

116 Rozwiązywaliśmy zadania z liczbami…

117 Zadanie 1… Cegła waży kilo i pół cegły. Ile waży cegła? x = 1 + x/2, (1 - 1/2)x = 1, x/2 = 1, x = 2 Cegła waży 2 kilogramy.

118 Zadanie 2 Dziadek i babka mają razem 120 lat. Obliczyć w pamięci, ile lat ma dziadek, a ile babka, jeśli dziadek jest starszy od babki o tyle lat, ile babka miała wtedy, kiedy dziadek miał tyle lat, ile babka ma teraz.

119 Zadanie 2… Dziadek miał tyle lat, co babka teraz, dokładnie R lat temu (bo R jest różnicą wieku). Wtedy - jak mówi zadanie - wiek babki był równy różnicy R. Ale w takim razie dziadek miał wtedy 2R lat. Zatem teraz, po R latach, dziadek ma 3R lat, a babka ma 2R lat. Trzeba więc podzielić sumę wieku 120 lat w stosunku 3:2 - dzielimy ją na 5 części równych R = 120/5 = 24; dziadek ma 3×24 = 72 lata, a babka ma 2×24 = 48 lat. Odp. Babcia ma 48 lat a dziadek 72 lat.

120 Zadanie 3 Do baru przyszło trzech facetów, pojedli sobie trochę. Zapłacili 30 złotych. Kelner zaniósł te 30 zł do szefa. Szef mówi tak: wiesz oni są stałymi klientami - zwróć im 5 zł. Kelner się wrócił, ale pomyślał sobie, że to on się użera z tymi klientami i schował 2 zł do kieszeni. Zwrócił facetom 3 złote czyli zapłacili 27 zł. Teraz dodaj 2 zł , które zabrał kelner - wychodzi 29 zł.

121 Zadanie 3… Klienci Kelner Szef Suma początek: płacą: u szefa: zwrot: kradzież: W każdym momencie suma pieniędzy jest równa 30 zł. Wydatek klientów to: stan początkowy - stan końcowy = = 27. Jeśli od tego odjąć 2 zł, które "zahaczył" kelner, to zostaje 25 zł w kasie. Suma wydatku klientów i tego, co z niego zabrał kelner nie występuje w bilansie - nie oznacza nic.

122 Zadanie 4 Spotkało się dwóch matematyków. Nie widzieli się dosć długo, jeden więc pyta drugiego: - Pewnie się ożeniłes i masz dzieci, co? - A tak, mam troje dzieci. - W jakim wieku? - Powiem ci tak: iloczyn wieku moich dzieci wynosi To za mało. - Słusznie. Odwróć się i policz okna w tym domu. - Już policzyłem. - I masz sumę wieku moich dzieci. - To za mało. - Znów słusznie. Ale weź pod uwagę to, że moje najstarsze dziecko ma zielone oczy... - Ach tak. Dziękuję ci, już wiem, ile lat mają twoje dzieci.

123 Zadanie 4… 36 = = = 13 i = 13 Z tąd wynika, że w pierwszym przypadku dwoje dzieci jest najstarszych. Ale przecież wiemy, że tylko jedno dziecko jest najstarsze (to, które ma zielone oczy) - pozostaje więc przypadek, gdy dzieci mają 2, 2 i 9 lat.

124 Zadanie 5 Dopisując po prawej stronie pewnej liczby naturalnej cyfrę zero powiększamy ją o 306. Jaka to liczba?

125 Zadanie 5… x*10 = x x = x / -x 9x = 306 /:9 x=34 x* = x /-x 9x = 0 /+261 9x = 261 /:9 x = 29

126 Zadanie 6 Latarnia morska ma zasięg 40 km. Powierzchnia morza oświetlana przez tę latarnie ma kształt półkola. Oblicz pole powierzchni morza oświetlanego przez tę latarnie. P=1/2 πr² P=1/2 π1600km² P=800π km² Odp. Pole wynosi 800π km² .

127 Zadanie 7 Czterej koledzy: Edward, Franciszek, Jerzy i Hubert, poszli wspólnie razem z żonami do klubu na bal noworoczny. Z początku każdy tańczył ze swoją żoną, ale wkrótce pary się pomieszały. Basia tańczyła z Edwardem, Alicja z mężem Karoliny, Dorota z mężem Alicji, Franciszek z żoną Jerzego i Jerzy z żoną Edwarda. Proszę rozsupłać tę "mieszaninę" par i określić kto z kim był zaślubiony i kto z kim tańczył.

128 Zadanie 7… Rozwiązanie… Edward tańczył z Basią Franciszek tańczył z Alicją Jerzy tańczył z Dorotą Hubert tańczył z Karoliną Dorota jest żoną Edwarda Karolina jest żoną Franciszka Alicja jest żoną Jerzego Basia jest żoną Henryka

129 Zadanie 8 Leciało stado dzikich gęsi. Naprzeciw podfrunęła ku nim ze stawu gęś domowa i jęła wołać w gęsim zachwycie: - Witaj, witaj, stugęśne stado mych dalekich krewnych! Gąsior, prowodyr stada, odgęgał: - Nie, nasze stado nie ma stu gęsi! Gdyby nas było jeszcze raz tyle i połowę tego, i jeszcze ćwierć tego, i ty na dodatek, to dopiero wówczas byłaby nas setka. Ile gęsi jest w stadzie? liczba gęsi -x x + x + 1/2 x + 1/4 x +1 = 100 x=36 gęsi

130 Zadanie 9 Masz dwa sznurki. Każdy sznurek spala się w ciągu godziny choć nierównomiernie - niektóre części sznurka palą się szybciej inne wolniej. Jak odmierzyć przy ich pomocy 15 minut?

131 W tym czasie wypali się 30 minut sznurka B
Zadanie 9… Nazwijmy pierwszy sznurek sznurkiem A, zaś drugi sznurek sznurkiem B. Zapalamy obydwa końce sznurka A oraz jeden koniec sznurka B Sznurek A wypali się po 30 minutach gdyż palą się oba końce sznurka A na raz W tym czasie wypali się 30 minut sznurka B W chwili gdy sznurek A wypali się do końca, zapalamy drugi koniec sznurka B. Sznurkowi B zostało 30 minut palenia. Jednak ponieważ palą się oba końce sznurka B na raz, więc będą się palić nie 30 minut tylko 15 minut. Właśnie te 15 minut które odmierzamy.

132 Zadanie 10 Obliczyć wartość liczby dwójkowej (2) w systemie dziesiątkowym (2) = 1 × × × × × × × × (2) = 1 × × × × × × × × (2) = (2) = 229(10)

133 Zadanie 11 Zamień 721 na system binarny i system szesnastkowy :2 = 360, reszta :2 = 180, reszta :2 = 90, reszta 0 90:2 = 45, reszta 0 45:2 = 22, reszta 1 22:2 = 11, reszta 0 11:2 = 5, reszta 1 5:2 = 2, reszta 1 2:2 = 1, reszta 0 1:2 = 0, reszta 1 Co nam daje liczbę: w systemie dwójkowym

134 Zadanie 11… Liczby w systemie szesnastkowym to: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 - A, 11 - B, 12 - C, 13 - D, 14 - E, 15 – F 721:16 = 45, reszta 1 45:16 = 2, reszta 13 2:16 = 0, reszta 2 Co nam daje liczbę: 2D1

135 Stosowaliśmy liczby w Excelu…
Pracowaliśmy również w Excelu, zaprojektowaliśmy różne gotowe arkusze, wystarczy tylko wpisać np. płacę podstawową, dodatki, ubezpieczenia itp. i w efekcie otrzymamy pensję na rękę

136 Liczby w Excelu…

137

138

139

140 Nasze gry i triki z liczbami…

141 Zgadywanie daty urodzenia…
Poproś kolegę aby pomyślał liczbę oznaczającą miesiąc jego urodzenia, pomnożył ją przez 2 i dodał 5. Tę ostatnią sumę ma jeszcze pomnożyć przez 50, a do wyniku dodać swój wiek liczony w latach. Poproś kolegę o podanie ostatniej liczby i w pamięci odejmij od niej 250. Dwie ostatnie cyfry otrzymanej liczby dadzą wiek kolegi, a dwie pierwsze jego miesiąc urodzenia.

142 Genialny matematyk… Poproś widza o napisanie na kartce liczby pięciocyfrowej. Następny widz niech dopisze pod nią swoją liczbę pięciocyfrową. Trzecią liczbę wpiszesz sam, czwartą widz, a piątą ty. Następnie poproś widza, aby dodał te liczby - ty możesz podać wynik natychmiast. Wystarczy, że na 3 i 5 miejscu wpiszesz taką liczbę, która zsumowana ze stojącą wyżej będzie w każdej kolumnie dawała 9. Suma jest łatwa do odgadnięcia, ponieważ zawsze będzie to pierwsza liczba od której odjęto 2 i na początku dopisano 2. Liczb do sumowania może być dużo więcej - regułę już znasz. ========

143 Magiczny trójkąt… Zaproś widza na scenę i daj mu zadanie do wykonania. Mów: "wybierz dowolną liczbę od 1 do 77 i pomnóż ją przez 3. Dodaj do wyniku super magiczne 9. Wynik pomnóż znowu przez 3. Dodaj do wyniku liczbę wybrana na początku. PRZYKŁAD: 27*3= =90 90*3= =297

144 WIDZ MUSI WPISAĆ WYNIK DO TRÓJKĄTA
WIDZ MUSI WPISAĆ WYNIK DO TRÓJKĄTA. TY ZAKREŚLASZ DWIE OSTATNIE CYFRY I ODGADUJESZ LICZBĘ WIDZA! sekret: TRIK JEST BARDZO PROSTY. ZAKREŚLANIE DWÓCH OSTATNICH CYFR TO TYLKO ZMYŁKA. TAK NAPRAWDĘ WAŻNE SA TYLKO DWIE PIERWSZE CYFRY! OD NICH ODEJMUJESZ 2 I MASZ SZUKANĄ LICZBĘ. W NASZYM PRZYKŁADZIE: 29-2=27!

145 Skreślona liczba… Bierzesz trzy kartki pocztowe i przecinasz je na cztery części. Na każdej z nich zapisujesz dowolne liczby trzy lub cztero-cyfrowe. Gdy to wykonasz, połóż je na stole tak, żeby liczby nie były widoczne. Poproś trzech, czterech widzów, by skompletowali dowolne pary z wyciętych kartek, a następnie zsumowali ze sobą obydwie liczby. W tym celu mogą użyć kawałka papieru, lub kalkulatora. Następnie poproś ich, by z otrzymanej liczby wykreślili jedną dowolną cyfrę, pozostałe cyfry dodali do siebie i podali tobie wynik. Twoje zadanie polega na odgadnięciu jakie cyfry skreślili widzowie.

146 Jak tego dokonać. Liczby, jakie wypisujesz na kartkach to np
Jak tego dokonać? Liczby, jakie wypisujesz na kartkach to np.: 235, 109, 2341, 433, 181, 1360, 541, 406, 217, 631, 307, Zauważ, że suma wszystkich cyfr w każdej z tych liczb daje 10. To są przykładowe liczby.

147 Skreślona cyfra… Gdy widz wykona polecenia i poda ci ostateczną sumę cyfr, wystarczy, że odejmiesz otrzymany rezultat od 11 (jeśli widz poda wynik większy bądź równy 11 - wtedy odejmujesz od dwudziestu). Otrzymany wynik to cyfra, którą skreślił widz. Przeanalizujmy to na przykładzie: =623. Jeśli zostanie skreślona cyfra 2, to pozostaną 6 i 3. Ich suma wynosi 9. Odejmując ją od 11 otrzymujesz 2 - skreśloną cyfrę.

148 Kolejny przykład: 2341+631=2972. Widz skreślił 7
Kolejny przykład: =2972. Widz skreślił 7. Pozostałe cyfry po zsumowaniu 2+9+2=13 - liczba większa od 11, więc odejmujemy =7 - jest to również cyfra skreślona wcześniej. Zamiast mówić każdemu z osobna jego skreśloną cyfrę, możesz w inny sposób zakończyć ten trik. Poproś widza, by powoli zaczął liczyć od 1 do 9, a ty w odpowiednim momencie głośno powiedz "STOP - to jest twoja skreślona cyfra".

149 Podchwytliwe liczby… Poproś widza, by wybrał cyfrę od 2 do 9. Niech pomnoży ją przez 9. Potem niech doda sumę liczb np. 123 tj =6 Niech na pierwszą literę cyfry wymyśli nazwę państwa, potem na trzecią literę państwa kolor, a na drugą literę koloru nazwę kwiatu… W dani nie rosną niebieski irysy.

150 Układaliśmy rebusy o liczbach…

151

152 Zadania z konkursu jaki przeprowadziliśmy wśród uczniów klas II
1. Między podanymi cyframi postaw znaki działań i nawiasy tak, by zachodziły równości: 1 2 = = = = = = = = 2 2. Postaw znaki działań arytmetycznych i nawiasy, aby otrzymać prawdziwe równości: = = = = = = = 48

153 3. Każdy z 7 ludzi ma 7 kotów, każdy kot zjada 7 myszy, każda mysz zjada 7 kłosów jęczmienia, a z każdego kłosa może wyrosnąć 7 miar ziarna. Ile byłoby wszystkich miar ziarna? 4. O czterech kolegach wiadomo, że Mirek i lekarz są starsi od Pawła. Daniel i adwokat grają w tenisa. Informatyk jest najmłodszy z całej czwółrki. Wieczorami Zbyszek i dziennikarz grają w brydża przeciw Pawłowi i informatykowi. Jaki zawód wykonuje każdy z nich? 5. Mamy do dyspozycji trzy świece, z których jedna spala się w czasie 4 minut, druga - w czasie 5 minut i trzecia w czasie 9 minut. W jaki sposób, gasząc lub zapalając te świece,odmierzyć 6 minut? Zakładamy, że gaszenie i zapalanie świec odbywa się błyskawicznie.

154 6. Suma trzech kolejnych liczb całkowitych parzystych wynosi 270
6. Suma trzech kolejnych liczb całkowitych parzystych wynosi 270. Największa z tych liczb jest równa? 7. Drewniany sześcian pomalowano zieloną farbą, a następnie rozcięto na 27 jednakowych sześcianików. Podaj liczbę sześcianików, które: A. Nie mają ani jednej zielonej ściany B. Mają tylko jedna zieloną ścianę C. Mają dwie ściany zielone D. Mają trzy ściany zielone

155 Fotki z konkursu…

156 Obliczaliśmy skład procentowy…

157 Wykonaliśmy plakat o funkcji liniowej i zawiesiliśmy go w pracowni matematycznej

158 Galeria …

159

160 Podsumowanie projektu,
wnioski 1.Prezentacja naszych dokonań odbyła się na forum szkoły w dniu r. 2.Cieszymy się, że współpraca z Gimnazjum ze Wschowy przebiegała sprawnie i przyjemnie. 3. Nabyte umiejętności na zajęciach z projektu pomagają nam przygotowując się do egzaminu gimnazjalnego.

161 4. Korzyści z przeprowadzonego projektu:
Znamy pojęcia i własności liczb, o których nigdy nie słyszeliśmy Potrafimy wskazać przykłady zastosowań liczb w życiu codziennym, Stosujemy poznane wiadomości w zadaniach praktycznych, Wykorzystujemy programy komputerowe: arkusze kalkulacyjne do rozwiązywania zadań wykorzystujących liczby, programy do tworzenia prezentacji itp. Potrafimy współpracować w grupie, Wyszukiwanie w podręcznikach, na stronie internetowej treści na określony temat nauczyło nas selekcjonowania i przetwarzania informacji.

162 Literatura… 1. Śladami Pitagorasa – Szczepan Jeleński 2. Ścieżki matematyki – Nigel Langdon i Charles Snape 3. Przez rozrywkę do wiedzy – Stanisław Kowol 4. Księga liczb – John Conway i Richard Guy 5. Liczby i algorytmy – Krystyna Dałek 6. Wikipedia 7. Język liczb Gladys Lobos 8. Liczby losu a wolność wewnętrzna Natasza Czarmińska 9. Magia numerologii Gladys Lobos 10. Świat magii liczb Bernd Nossak

163 Źródła… www.teksty.jeja.pl/182,trudne-zagadki.html

164