Projekt wykonany przez studentów I roku ARI Politechniki Wrocławskiej:

Prezentacja na temat: "Projekt wykonany przez studentów I roku ARI Politechniki Wrocławskiej:"— Zapis prezentacji:

1 Rachunek Prawdopodobieństwa MAEW104 Projekt (f) Ilustracja Centralnego Twierdzenia Granicznego
Projekt wykonany przez studentów I roku ARI Politechniki Wrocławskiej: Natalia Czop Dawid Dąbrowski Aneta Górniak Andrzej Jakubiec Piotr Walczak 09 czerwca 2008

2 Centralne Twierdzenie Graniczne
(CTG Lindeberga-Lévy’ego)

3 CENTRALNE TWIERDZENIE GRANICZNE
Rozważmy zmienną losową postaci: m – wartość oczekiwana σ – pierwiastek z wariancji

4 CENTRALNE TWIERDZENIE GRANICZNE
Sn oznacza , gdzie Xi są niezależnymi zmiennymi losowymi o: ● jednakowym rozkładzie ● takiej samej wartości oczekiwanej m ● skończonej wariancji σ 2 > 0

5 CENTRALNE TWIERDZENIE GRANICZNE
Wtedy zmienna losowa o takiej postaci zbiega według rozkładu do standardowego rozkładu normalnego, gdy n (liczba zmiennych losowych tworzących daną sumę) rośnie do nieskończoności.

6 CENTRALNE TWIERDZENIE GRANICZNE
Dla każdego przy

7 CENTRALNE TWIERDZENIE GRANICZNE
Gdzie: to dystrybuanta standardowego rozkładu normalnego

8 CENTRALNE TWIERDZENIE GRANICZNE
krzywa Gauss’a – funkcja gęstości prawdopodobieństwa standardowego rozkładu normalnego o wartości oczekiwanej równej zeru i wariancji równej 1.

9 Jak działa CTG ? Xi o rozkładzie Poissona

10 JAK DZIAŁA CTG? Losujemy n liczb o takim samym rozkładzie
Sumę tych n liczb normalizujemy (aby rozkład zbiegał do rozkładu normalnego o parametrach m = 0, σ² = 1 ) Czynność powtarzamy N razy

11 JAK DZIAŁA CTG? („rysowanie ścieżek” – błądzenie losowe z prawdopodobieństwem z rozkładu Poissona, λ = 5)

12 JAK DZIAŁA CTG? („rysowanie ścieżek” – błądzenie losowe z prawdopodobieństwem z rozkładu Poissona, λ = 5)

13 JAK DZIAŁA CTG? („rysowanie ścieżek” – błądzenie losowe z prawdopodobieństwem z rozkładu Laplace’a, l=0, λ = 2)

14 JAK DZIAŁA CTG? („rysowanie ścieżek” – błądzenie losowe z prawdopodobieństwem z rozkładu Laplace’a, l=0, λ = 2)

15 Rozkład Poissona To rozkład dyskretny przedstawiający liczbę wystąpień zjawiska w czasie t, w określonej liczbie prób, gdy wystąpienia te są niezależne od siebie.

16 Rozkład Poissona

17 sprawdzamy czy histogram jest zbliżony do krzywej Gaussa.
JAK DZIAŁA CTG? Rysujemy wykres: Tworzymy histogram na podstawie otrzymanych w wyniku błądzenia losowego sum zmiennych losowych sprawdzamy czy histogram jest zbliżony do krzywej Gaussa.

18 JAK DZIAŁA CTG? (liczba zmiennych losowych w sumie n = 200, liczba sum N = od 100 do )

19 JAK DZIAŁA CTG? (liczba zmiennych losowych w sumie n = 200, liczba sum N = od 100 do

20 JAK DZIAŁA CTG? (liczba zmiennych losowych w sumie n = 200, liczba sum N = od 100 do

21 JAK DZIAŁA CTG? (liczba zmiennych losowych w sumie n = od 10 do 200, liczba sum N = )

22 JAK DZIAŁA CTG? (liczba zmiennych losowych w sumie n = od 10 do 200, liczba sum N = )

23 JAK DZIAŁA CTG? (liczba zmiennych losowych w sumie n = od 10 do 200, liczba sum N = )

24 Dopasowanie krzywej Gaussa do wykresu rozkładu Poissona

25 Inne przykłady rozkładu Xi

26 Rozkład Laplace’a (podwójnie wykładniczy)
Matematyczne zastosowania rozkładu Laplace'a można znaleźć w pracy Johnsona i Kotza (Continuous univariate distributions,1995).

27 Rozkład laplace’a (podwójnie wykładniczy)

28 Dopasowanie krzywej Gaussa do wykresu rozkładu laplace’a

29 Rozkład Pascala (ujemny dwumianowy)
Dyskretny rozkład prawdopodobieństwa opisujący czas oczekiwania na l-ty sukces . Jeśli l to liczba sukcesów, k - liczba porażek, a p – prawdopodobieństwo sukcesu (w badanych próbach Bernoulliego) to rozkład Pascala opisuje jakie jest prawdopodobieństwo wystąpienia l sukcesów w k+l próbach.

30 Rozkład Pascala (ujemny dwumianowy)

31 Dopasowanie krzywej Gaussa do wykresu rozkładu Pascala

32 Rozkład jednostajny Ciągły
Rozkład prawdopodobieństwa, dla którego gęstość prawdopodobieństwa na przedziale (a,b) jest stała i różna od 0, a poza nim równa 0 ( gdzie b > a )

33 Rozkład jednostajny Ciągły

34 Dopasowanie krzywej Gaussa do wykresu rozkładu jednostajnego

35 Rozkład wykładniczy Rozkład zmiennej losowej opisujący sytuację, w której obiekt może przyjmować stany X i Y, przy czym obiekt w stanie X może ze stałym prawdopodobieństwem przejść w stan Y w jednostce czasu.

36 Rozkład wykładniczy

37 Dopasowanie krzywej Gaussa do wykresu rozkładu wykładniczego