MATEMATYKA „Kto lekceważy osiągnięcia matematyki przynosi szkodę całej nauce, ponieważ ten, kto nie zna matematyki, nie może poznać innych nauk ścisłych.

Prezentacja na temat: "MATEMATYKA „Kto lekceważy osiągnięcia matematyki przynosi szkodę całej nauce, ponieważ ten, kto nie zna matematyki, nie może poznać innych nauk ścisłych."— Zapis prezentacji:

1 MATEMATYKA „Kto lekceważy osiągnięcia matematyki przynosi szkodę całej nauce, ponieważ ten, kto nie zna matematyki, nie może poznać innych nauk ścisłych i nie może poznać świata.” Roger Bacon

2 Pola i obwody figur płaskich Ciekawostki matematyczne
MENU Historia matematyki w Polsce Kąty Pola i obwody figur płaskich Główne działy matematyki Przypomnienie o liczbach Liczba pi Ciekawostki matematyczne Twierdzenie Pitagorasa Trójkąty Zadania Warto przypomnieć

3 HISTORIA MATEMATYKI W POLSCE
W Polsce przedrozbiorowej wybitniejszą postacią był A.A. Kochański, nadworny matematyk Jana III Sobieskiego, znany z przybliżonego rozwiązania kwadratury koła. W epoce zaborów najbardziej zasłużonym krzewicielem wiedzy matematycznej był Jan Śniadecki, od niego to pochodzi polska terminologia matematyczna w ówczesnym zakresie (n.p. terminy "całka", "różniczka"). Jedynym znanym powszechnie matematykiem polskim sprzed 2 połowy XIX wieku był J.M. Hoene-Wroński, twórca nowej metody w terii równań różniczkowych; mniej znany jest W. Żmurko - wynalazca integratora, przyrządu do mechanicznego obliczania pól figur płaskich. Pierwsze polskie czasopismo matematyczne "Prace Matematyczno-Fizyczne" założył w 1888 roku D. Dickstein. Dopiero od zakończenia I wojny światowej można mówić o polskiej szkole mateamtycznej. Grupa matematyków warszawskich (W. Sierpiński, S. Mazurkiewicz, K. Kuratowski, B. Knaster i inni) zasłynęła z badań w zakresie teorii mnogości i topologii, podjętych z inicjatywy Z. Janiszewskiego. Założone w 1920 roku polskie czasopismo "Fundamenta Mathematicae" poświęcone tym dyscyplinom, było pierwszym na świecie wyspecjalizowanym czasopismem matematycznym

4 Z prac w dziedzinie analizy funkcjonalnej zasłynął ośrodek lwowski (S
Z prac w dziedzinie analizy funkcjonalnej zasłynął ośrodek lwowski (S. Banach, S. Mazur, H. Steinhaus i inni); we Lwowiem pracował wybitny badacz równań różniczkowych J. Schauder, a także H. Steinhaus, który pierwszy zastosował metody probabilistyczne w analizie. Kierunek tych badań rozwijany następnie przez N. Wienera w USA stał się podstawą teorii procesów stochastycznych. W czasie II wojny światowej zginęła prawie połowa twórczo pracujących matematyków polskich. Po II wojnie światowej matematyka polska szybko zaczęła się odradzać. W Polsce istnieje obecnie 7 matematycznych ośrodków uniwersyteckich (największe w Warszawie, Krakowie, Wrocławiu), całością badań matematycznych kieruje Instytut Matematyczny Polskiej Akademii Nauk. Organizacją społeczną matematyków w Polsce jest Polskie Towarzystwo Matematyczne, które zajmuje się zarówno pracą badawczą, jak i popularyzacją i dydaktyką. Opracowano na podstawie Encyklopedii Powszechnej PWN Warszawa 1975

5 Arytmetyka to nauka o liczbach oraz o posługiwaniu się nimi (czyli liczeniu), a pierwsze teoretyczne problemy w tej dziedzinie podejmowali starożytni Grecy W XIX wieku arytmetyka została zaksjomatyzowana, a nowoczesną postacią arytmetyki jest teoria liczb, która wciąż przyciąga setki badaczy, chcących zaznać przyjemności poruszania się po gruncie dziedziny, którą Gauss nazwał Królową Matematyki. Algebra to jeden z najstarszych działów matematyki, który powstał w starożytności, i którego zakres zmieniał się w ciągu wieków. Początkowo algebra zajmowała się rozwiązywaniem równań. Odkąd symbole literowe pojawiły się w arytmetyce, algebra przekształciła się w naukę o działaniach na literach i tak właśnie rozumie się obecnie algebrę. Słowo algebra natomiast pochodzi z tytułu dzieła uczonego arabskiego Alchwarizmiego IX w. i dotyczy przenoszenia wyrazów o współczynnikach ujemnych z jednej strony równania na drugą oraz skracania równań stronami Geometria jest jednym z działów matematyki, którego przedmiotem jest badanie figur geometrycznych i zależności między nimi. Figury geometryczne na płaszczyźnie noszą nazwę figur płaskich, w przestrzeni trójwymiarowej brył geometrycznych. Termin geometria pochodzi z języka greckiego i oznacza mierzenie ziemi. Z rozwojem geometrii związane jest nazwisko greckiego matematyka Euklidesa. Dzięki Euklidesowi geometria przedstawiana jest jako nauka uporządkowana, wzorowy przykład teorii dedukcyjnej zaczynającej się od kilku pojęć pierwotnych, z których za pomocą aksjomatów i definicji wyprowadza się twierdzenia.

6 Liczby rzeczywiste - liczby, które reprezentują wartości ciągłe
(wraz z zerem i liczbami ujemnymi). Klasycznym modelem zbioru liczb rzeczywistych jest oś liczbowa. Pojęcie liczby rzeczywistej określa wszystkie rodzaje liczb używane w praktyce codziennej – liczby naturalne, liczby całkowite, ułamki, liczby ujemne, pierwiastki itd. Oznaczenia: R+ - liczby rzeczywiste dodatnie R_ - liczby rzeczywiste ujemne NW – liczby niewymierne W – liczby wymierne C – liczby całkowite N – liczby naturalne

7 Liczbami naturalnymi nazywamy liczby 0,1,2,3, ..., 127, ...
Liczby naturalne poznaliśmy już wcześniej; służą one do liczenia przedmiotów. Wynik dodawania liczb a, b nazywamy sumą a + b, natomiast liczby, które dodajemy nazywamy składnikami. Wynik mnożenia liczb a, b nazywamy iloczynem a ■ b, natomiast liczby, które mnożymy nazywamy czynnikami. Wynik odejmowania liczb a, b nazywamy różnicą a — b, natomiast liczbę a nazywamy odjemna. liczbę zaś b — odjemnikiem. Wynik dzielenia liczb a, b nazywamy ilorazem a : b, natomiast liczbę a nazywamy dzielną, liczbę b — dzielnikiem. Wynik dodawania liczb naturalnych, a także wynik mnożenia liczb naturalnych jest zawsze liczbą naturalną; dlatego mówimy, że działania te są wykonalne w zbiorze liczb naturalnych * Liczby parzyste to liczby naturalne, które są podzielne przez 2. 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, ... * Liczby nieparzyste to liczby naturalne, które przy dzieleniu przez 2 dają resztę 1. 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13,

8 W zbiorze liczb całkowitych wykonalne są dodawanie, mnożenie
Liczbami całkowitymi nazywamy liczby naturalne oraz liczby do nich przeciwne. Zbiór liczb całkowitych oznaczamy przez C, a więc: C= {... -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...}. W zbiorze liczb całkowitych wykonalne są dodawanie, mnożenie 1 odejmowanie. Wynik dzielenia dwóch liczb całkowitych nie zawsze jest liczbą całkowitą. Przedstawienie liczby naturalnej w postaci iloczynu liczb pierwszych nazywamy rozkładem tej liczby na czynniki pierwsze. Oto przykład rozkładu liczby na czynniki pierwsze: 420 = 2*2*3*5*7 = 22*3*5*7 Posługując się rozkładem liczb na czynniki można wyznaczyć największy wspólny dzielnik oraz najmniejszą wspólną wielokrotność liczb naturalnych. Największy wspólny dzielnik liczb naturalnych m, n (oznaczamy go N WI)(/»,//)) jest to największy ze wszystkich wspólnych dzielników tych liczb. Najmniejsza wspólna wielokrotność liczb naturalnych m, n (oz­naczamy ją NWW(m,«)) jest to najmniejsza ze wspólnych wielokrotno­ści tych liczb.

9 Przykłady liczb niewymiernych: π, e,...
Liczby wymierne można ustawić w ciąg nieskończony. Każda liczba wymierna ma rozwinięcie dziesiętne skończone lub nieskończone okresowe. Liczby wymierne są podzbiorem liczb rzeczywistych R i nadzbiorem liczb całkowitych C, do którego należą wszystkie liczby dające się przedstawić w postaci ilorazu dwóch liczb całkowitych. Podzielenie licznika i mianownika ułamka przez ich wspólny dzielnik nazywamy skracaniem ułamka. Skracanie ułamka nie zmienia jego wartości. Wygodną i często stosowaną postacią liczby wymiernej jest jej roz­winięcie dziesiętne Na liczbach wymiernych można wykonywać działania dodawania, odejmowania i mnożenia. Można również wykonywać dzielenie, jeśli tylko dzielnik jest liczbą różną od zera Liczby niewymierne są liczby, których nie można przedstawić w postaci ilorazu dwóch liczb całkowitych. Nazywamy je liczbami niewymiernymi. Liczb niewymiernych jest całe mnóstwo - dużo więcej niż wszystkich możliwych liczb wymiernych. Natknęli się na nie pitagorejczycy, rozważając długości przekątnych kwadratu. Liczby niewymierne to liczby, które nie są wymierne. Liczbę niewymierną nie można przedstawić w postaci ułamka, a rozwinięcie dziesiętne liczby niewymiernej jest nieskończone i nieokresowe. Przykłady liczb niewymiernych: π, e,... Oś liczbowa jest to prosta, na której ustalono zwrot dodatni, punkt zerowy i jednostkę. Każdej liczbie całkowitej można przyporządkować, sposób jednoznaczny, jeden punkt na osi liczbowej, odkładając odpowiednią liczbę razy obraną jednostkę.

10 a b 3:4 = 3 4 3 7 4 8 7 9 5 4 licznik kreska ułamkowa
Mianownik nie może wynosić 0. Zawsze można zamienić znak dzielenia na kreskę ułamkową i odwrotnie. mianownik UŁAMKI WŁAŚCIWE I NIEWŁAŚCIWE 3 7 Są to ułamki właściwe- maja licznik mniejszy od mianownika 4 8 7 9 Są to ułamki niewłaściwe- mają licznik większy od mianownika 5 4 Menu

11 A Najmniejszą figurą geometryczną jest punkt Punkt oznaczamy dużymi literami alfabetu Proste oznaczamy małymi literami. a prosta A B AB- odcinek- składa się z punktów A i B (są to końce odcinka) oraz wszystkich punktów zawartych między punktami A i B a Są to równoległe- nie mają punktów wspólnych lub mają wszystkie punkty wspólne ( pokrywają się) b O Proste przecinające się - mają 1 punkt wspólny d Jeżeli proste przecinają się pod kątem prostym, są to proste prostopadłe c

12 Trójkąt o bokach 3, 4, 5 to jedyny trójkąt prostokątny, którego długości boków są kolejnymi liczbami naturalnymi. Nazywa się go trójkątem egipskim, ponieważ był używany przez Egipcjan do wyznaczania kąta prostego w terenie.                                                                  

13 Liczbę naturalną nazywamy doskonałą, gdy jest sumą wszystkich swoich dzielników właściwych. Przykładem takich liczb są 6, 28, 496, ponieważ dzielniki właściwe tych liczb (dzielnik właściwy liczby to każdy dzielnik mniejszy od tej liczby) to: D6={1,2,3} i = 6 D28={1,2,4,7,14} i = 28 D496={1,2,4,8,16,31,62,124,248} i = 496

14 Zabawa z trójkątem : 32 = 9 332 1089 3332 110889 33332 333332 A teraz oblicz sam: =

15 Pszczeli sekret Pszczoły poza tym iż są bardzo pracowite mają też ogromną wiedzę matematyczną. Czy widziałeś kiedykolwiek jak zbudowany jest plaster?                                                                   Otóż składa się on z szeregu komórek woskowych sześcieogranistych, ułożonych w dwu warstwach stykających się wspólnymi denkami. Co ciekawe, dna nie są płaskie. Są to naroża uformowane z trzech równych rombów. Dlaczego pszczoły obrały taką właśnie formę? Należało ciasne wnętrze ula uzyskać w sposób najbardziej ekonomiczny. A więc wybrać taki wielokąt, który zwielokrotniony pokrywałby płaszczyznę, bez żadnych szpar i szczelin. Spośród odkrytych, już przez Pitagorasa wielokątów foremnych trójkąta, kwadratu, mądre pszczoły wybrały właśnie sześciokąt . Innych form pszczoły nie brały pod uwagę, gdyż musiałyby swe plastry budować z komórek dwu lub nawet więcej typów, co znacznie utrudniałoby im pracę. Budując sześciokątne komórki również można osiągnąć największą pojemność komórek przy względnie najmniejszym zużyciu wosku.

16 Liczby większe od tysiąca zapisujemy zgodnie z zasadą: pozioma kreska nad liczbą rzymską oznacza liczbę tysiąc razy większą od początkowej. Przykłady: M X L I - 1 V - 5 X - 10 L - 50 C - 100 D - 500 M - 1000 IV = 4 VII = 7 XL = 40 CM = 900 MXXV = 1025 MCMXCV = 1995 MM = 2000 MCMLVI = 1956 Menu

17 Kwadraty i sześciany liczb :
13 = 1 23 = 8 33 = 27 43 = 64 53 = 125 63 = 216 73 = 343 83 = 512 93 = 729 103 = 1000 203 = 8000 253= 15625 102 = 100 112 = 121 122 = 144 132 = 169 142 = 196 152 = 225 162 = 256 172 = 289 182 = 324 192 = 361 202 = 400 252 = 625

18 Wzory skróconego mnożenia
(a+b)2 = a2 + 2ab + b2 - kwadrat sumy (a-b)2 = a2 - 2ab + b2 - kwadrat różnicy (a+b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 - sześcian sumy (a-b)3 = a3 - 3a2b + 3ab2 - b3 - sześcian różnicy a2-b2= (a-b) . (a+b) - różnica kwadratów a3 + b3 = (a+b) . (a2 - ab + b2) - suma sześcianów a3 - b3 = (a - b) . (a2 + ab + b2) - różnica sześcianów (a+b+c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc - kwadrat sumy trzech składników Menu

19 KĄTY ramię Kąt (lub kąt płaski) - każda z dwóch części płaszczyzny zawarta między dwiema półprostymi o wspólnym początku (zwanym wierzchołkiem kąta) wraz z tymi półprostymi (zwanymi ramionami kąta). Kąt wkl Kąt wypukły ramię Wierzchołek kąta Dwusieczna kąta- jest to półprosta, która dzieli kąt na pół. Dwusieczna kąta jest zbiorem punktów równooddalonych od ramion tego kąta.

20 Rodzaje kątów Kąt pełny Kąt półpełny Kąt zerowy

21 Kąt prosty Kąt ostry Kąt rozwarty

22 Suma kątów przyległych równa jest kątowi półpełnemu: α + β = 180°
W wyniku przecięcia się dwóch prostych powstają dwie pary kątów. Dwa kąty, które sąsiadują ze sobą nazywamy kątami przyległymi, natomiast kąty, które nie sąsiadują ze sobą nazywamy kątami wierzchołkowymi. Kąty przyległe Kąty przyległe, to kąty wypukłe, które mają jedno ramię wspólne, a pozostałe dopełniają się do prostej Suma kątów przyległych równa jest kątowi półpełnemu: α + β = 180° Kąty wierzchołkowe Kąty wierzchołkowe, to dwa kąty o wspólnym wierzchołku, takie, że przedłużenia ramion jednego kąta są ramionami drugiego. Kąty wierzchołkowe są równej miary: α = β, γ = δ. Menu

23 Trójkąty Podział trójkątów ze względu na kąty:
Ostrokątny ma 3 kąty ostre Prostokątny ma 1 kąt prosty Rozwartokątny ma 1 kąt rozwarty Nazwy boków w trójkącie prostokątnym: przyprostokątna przeciwprostokątna przyprostokątna

24 Podział trójkątów ze względu na boki:
RÓWNOBOCZNY Wszystkie boki są równe. Każdy kąt wynosi 600 RÓWNORAMIENNY Kąty przy podstawie są równe. Ramiona mają tę samą długość RÓŻNOBOCZNY Każdy bok ma inną długość SUMA MIAR KĄTÓW WEWNĘTRZNYCH KAŻDEGO TRÓJKĄTA WYNOSI 1800

25 I cecha przystawania trójkątów :
Jeżeli trzy boki jednego trójkąta są odpowiednio równe trzem bokom drugiego trójkąta, to te trójkąty są przystające.

26 II cecha przystawania trójkątów :
Jeżeli dwa boki i kąt między nimi zawarty jednego trójkąta są odpowiednio równe dwóm bokom i kątowi między nimi zawartemu drugiego trójkąta, to trójkąty są przystające.

27 III cecha przystawania trójkątów :
Jeżeli bok i dwa kąty do niego przyległe jednego trójkąta są odpowiednio równe bokowi i dwóm kątom do niego przyległym drugiego trójkąta, to trójkąty są przystające. Menu

28 Pola i obwody figur płaskich
Jednostki pola: 1 cm = 10 mm dm = 10cm (1 cm)2 = (10 mm) (1dm)2=(10cm)2 1 cm . 1 cm = 10 mm . 10 mm dm . 1 dm= 10 cm . 10 cm 1 cm2 = 1000 mm dm2 = 100 cm 2 1 m = 100 cm (1m)2 = (100 cm)2 1 m . 1m = 100 cm cm 1 m2 = 1000 cm2 1 a = 100 m2 1 ha = 1000 m2 1 ha = 100a

29 P = ½ ∙ I przekątna C1 ∙ II przekątna C2
Pole prostokąta : długość x szerokość P= a ∙ b Obw. = 2a + 2b b a Pole kwadratu : długość x szerokość P= a ∙ a = a2 lub P = ½ ∙ I przekątna C1 ∙ II przekątna C2 Obw.= 4 ∙ a c2 c1

30 P = ½ a ∙ h P = h = ½ x bok x wysokość do niego poprowadzona
Pole trójkąta: ½ x bok x wysokość do niego poprowadzona P = ½ a ∙ h Obwód trójkąta : równoramiennego : ( a + 2b) równobocznego: ( 3 ∙ a) różnobocznego: (a + b + c ) ∙ Wzór na pole trójkąta równobocznego h a2 P = 3 4 a Wzór na wysokość trójkąta równobocznego : a h = 3 2

31 bok x wysokość do niego poprowadzona
Pole równoległoboku : bok x wysokość do niego poprowadzona P= a ∙ h Obw.= 2a + 2b h . a Pole rombu: bok x wysokość do niego poprowadzona P= a ∙ h lub P = ½ ∙ I przekątna b ∙ II przekątna c b h c Obw.= 4a a

32 Obw.= 2a + 2b P=½∙(a+b)∙h P= ½ d1∙ d2 ½ x dodane podstawy x wysokość
Pole trapezu: ½ x dodane podstawy x wysokość P=½∙(a+b)∙h Wzór na obwód trapezu: różnobocznego : (a + b + c +d) równoramiennego: (a + b + 2c) b h a Pole deltoidu : P= ½ d1∙ d2 Obw.= 2a + 2b d2 d1 Menu

33 Л Л Л Л Liczba Л = ~ 3,14 Л l d = 3,1415926535897932384 ….. Л ~
Liczba (pi) jest równa stosunkowi długości okręgu do długości jego średnicy            długość okręgu Л l = Л = średnica okręgu d Л = 3, ….. Liczba jest liczbą niewymierną, bo ma rozwinięcie dziesiętne nieskończone, nieokresowe. Л Inna nazwa liczby pi to ludolfina - nazwa ludolfina pochodzi od imienia hol. matematyka Ludolfa van Ceulena, który w 1610r. wyznaczył przybliżenie liczby  z dokładnością do 35 miejsc rozwinięcia dziesiętnego, Л ~ 3,14 ~

34 2 Л r Pole = l = Л d l = 2 r Л r Wzór na długość okręgu d = 2r
l - długość okręgu d - średnica okręgu r - promień okręgu r 2 Л r Pole =

35 Łuk okręgu jest to część okręgu ograniczona
Długość łuku okręgu. Pole wycinka i odcinka koła Wzór na długość łuku okręgu α ł = . 2 r Л 360 0 Łuk okręgu jest to część okręgu ograniczona dwoma promieniami

36 Wzór na pole wycinka koła
. a Pwyc.= 2 r Л 3600 Wycinek koła jest to część koła ograniczona dwoma promieniami

37 Podc. = Pwyc. – P Odcinek koła jest to część koła ograniczona cięciwą
Menu

38 Twierdzenie Pitagorasa
Pitagoras( ok. 570 – 497 p.n.e.) Był greckim filozofem, matematykiem i założycielem słynnego związku religijno – politycznego, nazwanego później szkoła pitagorejską. Pitagorasowi i jego uczniom przypisuje się między innymi: zapoczątkowanie teorii liczb, uzasadnienie twierdzenia zwanego twierdzeniem Pitagorasa, sformułowanie twierdzenia o sumie kątów w trójkącie czworokącie i wielokątach foremnych, zajmowanie się wielościanami foremnymi i kulą. Pitagorejczycy odkryli, że tylko pewne wielokąty foremne pokrywają płaszczyznę, mianowicie: trójkąty równoboczne, kwadraty, sześciokąty foremne. Badając własności liczb naturalnych, pitagorejczycy tworzyli ciągi liczb wielokątnych, a więc liczby trójkątne, czworokątne, pięciokątne.

39 TREŚĆ TWIERDZENIA PITAGORASA :
Jeżeli trójkąt jest prostokątny to suma pól kwadratów zbudowanych na przyprostokątnych, jest równa polu kwadratu zbudowanego na przeciwprostokątnej. Jeżeli trójkąt jest prostokątny to suma kwadratów przyprostokątnych jest równa kwadratowi przeciwprostokątnej

40 TWIERDZENIE ODWROTNE DO TWIERDZENIA PITAGORASA :
Jeżeli suma kwadratów długości 2 krótszych boków trójkąta jest równa kwadratowi długości boku najdłuższego, to ten trójkąt jest prostokątny

41 P3 =c2 P2=a2 c a a2 + b2 = c2 P1=b2 b P1 + P2 = P3

42 Poniżej przedstawiona animacja, ilustruje jeden z dowodów  twierdzenia Pitagorasa. Zielony czworokąt jest jednym z czterech przystających czworokątów, na jakie został podzielony dolny kwadrat, dwiema prostymi przechodzącymi przez jego środek, przy czym jedna z tych prostych jest równoległa do przeciwprostokątnej  trójkąta, a druga jest prostopadła. Najpierw wypełniane są dwa mniejsze kwadraty, a potem takimi samymi częściami wypełniany jest największy kwadrat. Menu

43 Zadania 1. Jeden z kątów przyległych jest dwa razy większy od drugiego. Ile stopni ma każdy z nich ? 2a a 2. Podaj, jakie pole ma koło o promieniu : 3 ; 1 3. Podaj długość okręgu o promieniu: 1; 3,14 ; 4,2 4. Podaj wynik : 122 ; 172 ; 93

44 5. Oblicz pole zacieniowanego pierścienia ?
                        6 4 6. Oblicz średnice pni drzew o obwodach : 50 cm ; 1m :

45 Który z trójkątów jest trójkątem prostokątnym ?
a c b d f g h Trójkąty prostokątne to: a, d, g

46 Czy podany wzór jest poprawny ?
k w c d h s s2 + d2 = h2 k2 = c2 + w2

47 Oblicz pola kwadratów zbudowanych na bokach trójkąta
Pa = 32 = 9 b2 b Pb = 42 = 16 Pc = 52 = 25 Menu