Andrzej Dąbrowski Wrocław

Prezentacja na temat: "Andrzej Dąbrowski Wrocław"— Zapis prezentacji:

1 Andrzej Dąbrowski Wrocław
BUFFONADA Andrzej Dąbrowski Wrocław

2 Igła Buffona (1777) Georges Louis Leclerc hrabia de Buffon ( )

3 Igła Buffona ogólniej 21 przecięć 15 przecięć
Ile przecięć można oczekiwać? Czy zależy to od kształtu „igły”? Czy zależy od długości „igły”? Czy zależy od odstępu między liniami?

4 Oczekiwana liczba przecięć dla prostej igły
E(d,l) oczekiwana (przeciętna) liczba przecięć gdy igła ma długość l i odstęp między liniami jest d Niezależnie od położenia igły, zawsze: liczba przecięć = liczba przecięć w części żółtej + liczba przecięć w części różowej E(d,l1+l2)= E(d,l1)+ E(d,l2)

5 Oczekiwana liczba przecięć dla prostej igły
E(d,l1+l2)= E(d,l1)+ E(d,l2) Wynik ten można rozszerzyć na dowolną liczbę części igły: E(d,l1+l2 +l3 +l4)= E(d,l1)+ E(d,l2)+ E(d,l3)+ E(d,l4)

6 Oczekiwana liczba przecięć dla igły łamanej
Wynik można uogólnić na dowolną igłę łamaną: E(d,l1+l2 +l3 +l4)= E(d,l1)+ E(d,l2)+ E(d,l3)+ E(d,l4)

7 Oczekiwana liczba przecięć – dowolny kształt
E(d,l1+l2)= E(d,l1)+ E(d,l2) Dowód: wystarczy krzywą podzielić na łamaną o dużej liczbie kawałków Oczekiwana liczba przecięć: nie zależy od kształtu „igły” zależy od d i l

8 Oczekiwana liczba przecięć wzór
E(d,l1+l2)= E(d,l1)+ E(d,l2) E(d,0)=0 Równanie Cauchy’ego E(d,l)= f(d)*l Jaka jest postać funkcji f(d)?

9 Ostateczny wzór E(d,l)= f(d) l 2= f(d) π d

10 Co z tego wynika? gdy d=2l to
Gdy l<d oczekiwana igła przetnie linie co najwyżej raz więc oczekiwana liczba przecięć jest równa prawdopodobieństwu przecięcia gdy d=2l to

11 Długość krzywej gdy to Przykład przecięcia: 8, 9, 10 l=E=9

12 Tomografia E=c l l długość krzywej c=stała
Prosta prześwietla krzywą pod losowym kątem E=c l l długość krzywej c=stała

13 Tomografia E=c l 2p=cl p=cl/2
Gdy krzywa jest wypukła i zamknięta to E=2 p p prawdopodobieństwo, że linia przetnie krzywą

14 Tomografia Promień przecina zewnętrzną krzywą.
Jakie jest prawdopodobieństwo, że przetnie krzywą wewnętrzną? P(F1)=cl1/2 P(F2)=cl2/2

15 Tomografia Przykład Promień koła 10 cm
Na 100 prześwietleń koła 30 trafia krzywą. Długość ≈ 6,28*10*0,3 =18,84 cm Jak oszacować długość l krzywej wypukłej zamkniętej? Zawrzeć ją w kole o znanym promieniu r