Piotr Bania Akademia Górniczo-Hutnicza Katedra Automatyki

Sterowanie predykcyjne systemami nieliniowymi Algorytmy z adaptacją wskaźnika jakości
Piotr Bania Akademia Górniczo-Hutnicza Katedra Automatyki Seminarium Polskiego Towarzystwa Matematycznego, Kraków – Maj 2007

Sterowanie predykcyjne stanowi przedmiot bardzo intensywnych badań
Google „Model predictive control” (MPC) – odnośników „Nonlinear model predictive control” (NMPC) – odnośników „Receding horizon control” (RHC) – odnośników „Sterowanie predykcyjne" – 264 odnośniki „Regulacja predykcyjna"– 243 odnośniki Piotr Bania - Sterowanie predykcyjne systemami nieliniowymi - Seminarium PTM Kraków Maj 2007

Czym jest sterowanie predykcyjne?
Sterowanie predykcyjne (MPC – model predictive control lub RHC – receding horizon control) jest metodą sterowania systemami dynamicznymi, polegającą na cyklicznym rozwiązywaniu odpowiednio sformułowanego zadania sterowania optymalnego (ZSO). Początkowa część rozwiązania (funkcji sterującej) podawana jest na wejścia obiektu, po czym całą procedurę powtarza się dla nowego aktualnie wyznaczonego stanu obiektu. Prawa strona ciągła , spełnia globalny warunek Lipschitza, f(0,0)=0, System Wskaźnik jakości Ograniczenia na stan końcowy Zbiór dopuszczalnych stanów końcowych Piotr Bania - Sterowanie predykcyjne systemami nieliniowymi - Seminarium PTM Kraków Maj 2007

Uzasadnienie sterowania predykcyjnego
Regulator optymalny u=k(x) można wyznaczyć na drodze rozwiązania równania Hamiltona-Jacobiego-Bellmana, jednakże znalezienie rozwiązania jest praktycznie niemożliwe dla bardziej skomplikowanych zadań z ograniczeniami. (Mayne et. al. 2000) Znacznie łatwiejsze jest cykliczne rozwiązywanie zadania sterowania optymalnego ze skończonym horyzontem przy zadanym warunku początkowym. (Mayne et. al. 2000) Piotr Bania - Sterowanie predykcyjne systemami nieliniowymi - Seminarium PTM Kraków Maj 2007

Rozwój algorytmów predykcyjnych
Pierwsze wzmianki Lee and Markus1967 Foundations of optimal control theory Kalman1960 – „optimality does not imply stability” ale po wprowadzeniu twardych ograniczeń na stan końcowy można uzyskać stabilny regulator Pakiet IDCOM (identification and command) – model linowy dyskretny w postaci odpowiedzi imulsowej i kwadratowa funkcja kosztu Richalet et al. 1976 DMC – Dynamic Matrix Control; Culter&Ramaker 1980, Prett&Gilette 1980 model liniowy dyskretny w postaci odpowiedzi skokowej , ograniczenia stanu i sterowania QDMC – Quadratic Dynamic Matrix Control , zadanie programowania kwadratowego z uwzględnieniem ograniczeń stanu i sterowania, model liniowy dyskretny w czasie Garcia & Morshedi 1986 GPC – generalized predictive control – Clarke & Mothadi 1987 – model linowy dyskretny w postaci transmitancji z uwzględnieniem zakłóceń i estymacją parametrów na bieżąco Piotr Bania - Sterowanie predykcyjne systemami nieliniowymi - Seminarium PTM Kraków Maj 2007

W systemach z czasem ciagłym przełom nastapił po opublikowaniu w 1990 r. artykułu
Mayne & Michalska 1990 Receding Horizon Control of Non-linear Systems – ograniczenia stanu końcowego, nieliniowy model obiektu w postaci układu równań różniczkowych, Quasi infinity horizon model predictive control – Chen & Algöwer 1998 – Model nielinowy w postaci równań różniczkowych, kwadratowy wskaźnik jakości, funkcja kary za niespełnienie warunku końcowego, wskaźnik jakości wybrany tak aby dobrze oszacować koszt dla zadania z nieskończonym horyzontem Suboptimal Model Predictive Control (Feasibility Implies Stability) – Scokaert, Mayne, Rao 1999 – nielinowe systemy dyskretne , suboptymalne sterowania dopuszczalne pozwalają uzyskać stabilność Bania 2007 –QTO-RHC Quasi Time Optimal Receding Horizon Control suboptymalny algorytm predykcyjny dla systemów ciągłych w czasie dla zadań czasooptymalnych Piotr Bania - Sterowanie predykcyjne systemami nieliniowymi - Seminarium PTM Kraków Maj 2007

Zastosowania algorytmów predykcyjnych
Przemysł chemiczny, petrochemiczny, metalurgia Lotnictwo Robotyka Loty kosmiczne Qin & Badgwel 1997 An overview of industrial model predictive control technology Morari & Lee 1999 Model predictive control : Past, present and and future Mayne et al Constrained model predictive control: Stability and optimality Tatjewski P Sterowanie zawansowane obiektów przemysłowych Maciejowski J. M Predictive control Piotr Bania - Sterowanie predykcyjne systemami nieliniowymi - Seminarium PTM Kraków Maj 2007

Piotr Bania - Sterowanie predykcyjne systemami nieliniowymi - Seminarium PTM Kraków Maj 2007

Niestabilność w sterowaniu predykcyjnym
Piotr Bania - Sterowanie predykcyjne systemami nieliniowymi - Seminarium PTM Kraków Maj 2007

Wnioski z przykładów Piotr Bania - Sterowanie predykcyjne systemami nieliniowymi - Seminarium PTM Kraków Maj 2007

Sterowania czasooptymalnego, Sterowania docelowego,
Cel badań Skonstruować uniwersalny stabilny i odporny algorytm sterowania predykcyjnego umożliwiający realizację zadań: Sterowania czasooptymalnego, Sterowania docelowego, Stabilizacji po osiągnięciu otoczenia celu, przy możliwie niskim nakładzie obliczeń. Uzasadnienie Algorytmy predykcyjne były zwykle stosowane do stabilizacji systemów nieliniowych. Przedstawiony cel badań stanowi znaczące poszerzenie zakresu stosowalności algorytmów predykcyjnych i nie był dotychczas analizowany w literaturze. Piotr Bania - Sterowanie predykcyjne systemami nieliniowymi - Seminarium PTM Kraków Maj 2007

A. Wymagania „sztywne” Stabilność ( w odpowiednim sensie) Odporność (w odpowiednim sensie) B. Sterowanie czasooptymalne (docelowe) i stabilizacja są trudne do pogodzenia w jednym algorytmie Stabilizacja Celem jest minimalizacja odchyłek stanu w otoczeniu punktu równowagi Synteza regulatora na podstawie lokalnego modelu linowego, mniejsza wrażliwość na zakłócenia Na ogół nieskończony horyzont sterowania Przy nieskończonym horyzoncie implikuje stabilność AP. Sterowanie optymalne i docelowe Celem jest osiągnięcie zadanego stanu końcowego Duża wrażliwość rozwiązań optymalnych Zadanie ze skończonym horyzontem Na ogół nie implikuje stabilności AP (Kalman 1960) – optimality does not implies stability) Piotr Bania - Sterowanie predykcyjne systemami nieliniowymi - Seminarium PTM Kraków Maj 2007

Adaptacja wskaźnika jakości:
Doprowadzić system do otoczenia celu i stopniowo zmieniać strategię sterowania „włączając” do wskaźnika jakości składnik stabilizujący (np. całka z kwadratu odchyłek stanu) Start adaptacji gdy trajektoria osiąga zbiór B Strategia stabilizacji Strategia czasooptymalna lub docelowa Piotr Bania - Sterowanie predykcyjne systemami nieliniowymi - Seminarium PTM Kraków Maj 2007

C. Minimalizacja nakładu obliczeń
Zadanie sterowania optymalnego musi być rozwiązywane on-line co czas d !!! PODSTAWOWY PROBLEM Wniosek Należy wykorzystać rozwiązania suboptymalne do redukcji nakładu obliczeń oraz maksymalnie uprościć zadanie sterowania optymalnego Piotr Bania - Sterowanie predykcyjne systemami nieliniowymi - Seminarium PTM Kraków Maj 2007

Czy sterowania suboptymalne zachowują stabilność i odporność?
Duży nakład obliczeń, zadanie nieskończenie wymiarowe niepotrzebne iteracje pod koniec procesu optymalizacji, ale gwarantowana stabilność. Sterowanie optymalne z punktu do punktu Zadanie oryginalne Suboptymalne sterowanie dopuszczalne, z punktu do zbioru końcowego. Zadanie przekształcone Redukcja nakładu obliczeń, prostszy problem sterowania, możliwość przerwania obliczeń po znalezieniu rozwiązania dopuszczalnego. Niskowymiarowa parametryzacja sterowania za pomocą wielomianów trzeciego stopnia. Czy sterowania suboptymalne zachowują stabilność i odporność? Piotr Bania - Sterowanie predykcyjne systemami nieliniowymi - Seminarium PTM Kraków Maj 2007

Lemat 2.3.1. Zachodzi implikacja WS1 WS3.

Rozwiązania zmierzają do kuli K(0,R(e)) i pozostają w tej kuli,
Wpływ zakłóceń Przewidywana poprawa przy braku zakłóceń Rozwiązania zmierzają do kuli K(0,R(e)) i pozostają w tej kuli, Promień kuli jest tym mniejszy im mniejsze są zakłócenia Piotr Bania - Sterowanie predykcyjne systemami nieliniowymi - Seminarium PTM Kraków Maj 2007

W praktyce optymalizujemy aż do wyczerpania limitu czasu
Wnioski Stosowanie rozwiązań suboptymalnych nie narusza stabilności i odporności algorytmu predykcyjnego Procedura P może zakończyć obliczenia gdy W praktyce optymalizujemy aż do wyczerpania limitu czasu Piotr Bania - Sterowanie predykcyjne systemami nieliniowymi - Seminarium PTM Kraków Maj 2007

Algorytm QTO-RHC (Quasi Time Optimal Receding Horizon Control )
Zmienna strategia sterowania Ograniczenie stanu końcowego jest realizowane przez dobór współczynnika kary r. Adaptacja wskaźnika jakości, regularne przejście od sterowania czasooptymalnego do stabilizacji Piotr Bania - Sterowanie predykcyjne systemami nieliniowymi - Seminarium PTM Kraków Maj 2007

W początkowej fazie sterowanie jest zbliżone do czasooptymalnego;
Po osiągnięciu zbioru B (zadawanego przez użytkownika) rozpoczyna się adaptacja wskaźnika jakości, algorytm przechodzi do fazy stabilizacji zwiększając współczynnik ei i włączając do wskaźnika jakości człon stabilizujący; Horyzont zmierza do wartości minimalnej Tmin; Wskaźnik jakości zmierza do zera; Współczynnik kary r ulega zmianie co najwyżej raz; Jeżeli funkcja podcałkowa we wskaźniku jakości jest kwadratowa i prawa strona równań stanu jest afiniczna względem sterowania, to sterowania generowane przez algorytm zmierzają do rozwiązań problemu liniowo – kwadratowego ze skończonym horyzontem sterowania dla systemu zlinearyzowanego w otoczeniu zera Regulator zmierza asymptotycznie do regulatora LQ Piotr Bania - Sterowanie predykcyjne systemami nieliniowymi - Seminarium PTM Kraków Maj 2007

Algorytm optymalizacji MSE - Monotone Structural Evolution
(Korytowski, Szymkat, Turnau) Algorytm MSE jest bezpośrednią metodą rozwiązywania zadań sterowania optymalnego dla systemów opisywanych równaniami różniczkowymi zwyczajnymi przy ograniczeniach stanu i sterowania. Struktura sterowania: łuki graniczne, wewnętrzne, singularne oraz punkty podziału Łuk graniczny : wartość sterowania i końce przedziału, 2 parametry; Łuk wewnętrzny: wielomian stopnia 1 lub 3 oraz końce przedziału – max. 6 parametów; Łuk singularny: us(x,y) końce przedziału, dwa parametry ; Piotr Bania - Sterowanie predykcyjne systemami nieliniowymi - Seminarium PTM Kraków Maj 2007

W trakcie optymalizacji wywoływane są procedury generacji i redukcji
Przy ustalonej strukturze sterowania poszukuje się metodami gradientowymi (BFGS) minimum wskaźnika jakości Q(p), gdzie p jest wektorem parametrów sterowania Gradient wskaźnika jakości wylicza się na drodze numerycznego całkowania równań stanu i równań sprzężonych W trakcie optymalizacji wywoływane są procedury generacji i redukcji Generacja szpilkowa – wstawienie nowego „krótkiego” łuku Generacja jednowęzłowa – wstawienie nowego węzła Generacja płaska – wstawienie łuku wewnętrznego na łuku granicznym Generacja wielomianowa – zwiększenie o 2 stopnia wielomianu opisującego dany łuk wewnętrzny Efektywność generacji: Przyrost kwadratu normy gradientu przed i po generacji Warunki generacji – czy dana generacja jest dopuszczalna i minimalnie efektywna Po generacji następuje zmiana struktury sterowania i zmiana wymiaru przestrzeni decyzyjnej Proces poszukiwania kontynuuje się w nowej przestrzeni aż do następnej generacji bądź spełnienia warunków koniecznych optymalności Procedury redukcji – usuwanie łuków o zerowej długości – zmiana struktury Piotr Bania - Sterowanie predykcyjne systemami nieliniowymi - Seminarium PTM Kraków Maj 2007

Przykład generacji szpilkowej
1. Sterowanie początkowe oraz antygradient wskaźnika jakości 2. Generacja szpilkowa na drugim sterowaniu 3. W następnej iteracji nowy łuk „poszerza” się 4. Po kilkunastu iteracjach wystąpiła redukcja pierwszego łuku oraz generacja nowego łuku granicznego na końcu Piotr Bania - Sterowanie predykcyjne systemami nieliniowymi - Seminarium PTM Kraków Maj 2007

Przykład generacji jednowęzłowej
1. Sterowanie tuż przed generacją 2. Efektywność generacji jednowęzłowej 3. Wstawienie nowego węzła w punkcie o maksymalnej efktywności Piotr Bania - Sterowanie predykcyjne systemami nieliniowymi - Seminarium PTM Kraków Maj 2007

Własności metody MSE Niski wymiar przestrzeni decyzyjnej zwykle <100 dobierany dynamicznie w trakcie procesu optymalizacji Szybka zbieżność w porównaniu z metodą strzałów Wskaźnik jakości monotonicznie maleje w kolejnych iteracjach Możliwość zastosowania w czasie rzeczywistym Wada – duży nakład pracy analitycznej – wyznaczenie równań sprzężonych i wzorów na sterowania singularne Przy większej liczbie sterowań (>4) znacząco rośnie nakład obliczeń Piotr Bania - Sterowanie predykcyjne systemami nieliniowymi - Seminarium PTM Kraków Maj 2007

Kąt wahadła Położenie wózka

Porównanie z regulatorem LQ
Pokaz Piotr Bania - Sterowanie predykcyjne systemami nieliniowymi - Seminarium PTM Kraków Maj 2007

Pokaz

Maksymalizacja stosunku masy końcowej do początkowej

Pokaz Piotr Bania - Sterowanie predykcyjne systemami nieliniowymi - Seminarium PTM Kraków Maj 2007

Dziękuję za uwagę Piotr Bania - Sterowanie predykcyjne systemami nieliniowymi - Seminarium PTM Kraków Maj 2007

Piotr Bania Akademia Górniczo-Hutnicza Katedra Automatyki

Podobne prezentacje

Prezentacja na temat: "Piotr Bania Akademia Górniczo-Hutnicza Katedra Automatyki "— Zapis prezentacji:

Podobne prezentacje

О projekcie

Zwrotny adres

Wejść

Zaloguj się poprzez sieć społeczną:

Piotr Bania Akademia Górniczo-Hutnicza Katedra Automatyki

Podobne prezentacje

Prezentacja na temat: "Piotr Bania Akademia Górniczo-Hutnicza Katedra Automatyki "— Zapis prezentacji:

Podobne prezentacje

О projekcie

Zwrotny adres