TEORIA GIER opracowanie na podstawie

Prezentacja na temat: "TEORIA GIER opracowanie na podstawie"— Zapis prezentacji:

1 TEORIA GIER opracowanie na podstawie
„Metody wspomagające podejmowanie decyzji w zarządzaniu” D. Witkowska, Menadżer Łódź 2000 „Badania operacyjne” Piotr Betlej

2 W teorii decyzji i w teorii gier podejmujący decyzję (decydent) działa w warunkach ryzyka, zdając się na wybór dokonany hipotetycznego przeciwnika, którego nazwaliśmy Naturą. W teorii decyzji zakłada się, że Natura działa w sposób losowy, natomiast teoria gier dotyczy sytuacji, gdy stany natury są kontrolowane - częściowo lub całkowicie - przez jednego lub kilku przeciwników decydenta. 17/03/26 dr inż. Iwona Staniec

3 Gry W zależności od liczby tych przeciwników i ich interesów rozróżniamy różne rodzaje gier, na przykład: - gry dwuosobowe, - gry wieloosobowe, - gry koalicyjne. 17/03/26 dr inż. Iwona Staniec

4 istnieje skończona liczba uczestników,
Aby dana sytuacja mogła być nazwana grą, musi spełniać następujące warunki: istnieje skończona liczba uczestników, każdy uczestnik posiada skończoną liczbę sposobów działania (strategii), uczestnik, który chce posłużyć się teorią gier, musi znać wszystkie dostępne pozostałym graczom strategie, lecz nie może wiedzieć, która z nich będzie obrana, wygrana każdego uczestnika zależy zarówno od działania pozostałych graczy, jak i od jego własnego działania, wszystkie możliwe wyniki są mierzalne. 17/03/26 dr inż. Iwona Staniec

5 Graczem nazywa się każdą stronę zainteresowaną w grze.
Strategią nazywa się zasadę, na podstawie której gracz wyznacza swój sposób działania. Gracz stosuje strategię czystą, jeżeli używa w grze tylko jednego sposobu działania. Jeżeli gracz stosuje dostępne mu sposoby działania w pewnej proporcji, to mówimy, że stosuje strategię mieszaną lub zrandomizowaną. 17/03/26 dr inż. Iwona Staniec

6 Gra dwuosobowa o sumie zero
Grami dwuosobowymi o sumie zero są takie sytuacje, gdy w grze biorą udział tylko dwie strony, a przegrane jednej ze stron są wygranymi drugiej. Macierz wypłat jest tablicą, która przedstawia kwoty otrzymane przez gracza wymienionego po lewej stronie tej tablicy po wszystkich możliwych partiach gry. Wypłat dokonuje gracz wymieniony u góry tablicy macierz ta składa się z tylu kolumn, ile jest wszystkich możliwych sposobów działania gracza zamieszczonego u góry tablicy, i z tylu wierszy, ile jest wszystkich możliwych sposobów działania gracza zamieszczonego po lewej stronie tablicy). 17/03/26 dr inż. Iwona Staniec

7 Macierz wypłat 17/03/26 dr inż. Iwona Staniec

8 gra posiada punkt siodłowy, jeżeli każdy z graczy podczas całej gry stosuje tylko jeden sposób działania. Punktem siodłowym jest punkt w macierzy wypłat znajdujący się na przecięciu tych dwóch sposobów działania, natomiast wypłata w tym punkcie stanowi wartość gry. V = VA =Max (Min aij) = VB=Min (Max aij) Wartość gry jest średnią kwotą przypadającą na partię, którą wygrałby w długim okresie jeden z graczy, gdyby obaj stosowali swe najlepsze strategie. 17/03/26 dr inż. Iwona Staniec

9 Gra jest rozwiązana, gdy wyznaczymy:
wartość gry, strategię, którą ma zastosować gracz umieszczony w macierzy wypłat po lewej stronie, aby zapewnić sobie średnią wygraną na partię co najmniej równą wartości gry, strategię, którą ma zastosować gracz umieszczony w górnej części macierzy wypłat, aby średnia przegrana na partię nie była większa niż wartość gry. 17/03/26 dr inż. Iwona Staniec

10 Przykład Dwie konkurencyjne firmy Alfa i Beta są dealerami dobrze znanej marki odbiorników telewizyjnych. Roczne zyski tych dwóch firm wynoszą odpowiednio 4 i 8 mln zł. Alfa chce rozszerzyć swoją działalność i otworzyć zakład montażu odbiorników zakładając, że przyniesie to jej roczny zysk równy 10 mln zł. Oczekuje przy tym, że firma Beta będzie kontynuować swoją działalność bez podejmowania montażu odbiorników u siebie. Jednakże szef firmy Beta usłyszał o planach firmy Alfa i obliczył, że jeśli plany firmy Alfa będą urzeczywistnione, to zyski firmy Beta spadną do 2 mln zł. Natomiast jeśli Beta uruchomi zakład montażu, a Alfa nie zrobi tego, to zysk firmy Beta wzrośnie do 11 mln zł, a zysk firmy Alfa spadnie do 1 mln zł. Gdyby obydwie firmy uruchomiły zakłady montażu, to wtedy obie zarobiłyby po 6 mln zł na rok. Jaką strategię powinna wybrać firma Alfa, a jaką Beta, aby zyski ich były możliwie jak największe? 17/03/26 dr inż. Iwona Staniec

11 KRYTERIA WYBORU DECYZJI W WARUNKACH NIEPEWNOŚCI
Kryteria nieprobabilistyczne Kryteria probabilistyczne 17/03/26 dr inż. Iwona Staniec

12 Kryteria nieprobabilistyczne MaxiMin
Pesymista (asekurant) określa dla każdej swojej decyzji najgorszy możliwy wynik (minimalna wypłatę) , a następnie wybiera taką decyzję , dla której określona minimalna (gwarantowana) wypłata jest największa. 17/03/26 dr inż. Iwona Staniec

13 Kryteria nieprobabilistyczne MaxiMax
Optymista (ryzykant) określa dla każdej swojej decyzji najwyższy możliwy wynik (maksymalną wypłatę) , a następnie wybiera taka decyzję , dla której tak określona maksymalna (ale nie gwarantowana) wypłata jest największa. 17/03/26 dr inż. Iwona Staniec

14 Kryteria nieprobabilistyczne kryterium Hurwicza
Reguła Hurwicza przyporządkowuje każdej decyzji indeks , który jest ważoną przeciętną minimalnej i maksymalnej wypłaty wynikającej z decyzji. Wybierana jest strategia, której odpowiada maksymalna wartość Oznaczmy przez skłonność do bycia pesymistą przy wyborze strategii 17/03/26 dr inż. Iwona Staniec

15 Kryteria nieprobabilistyczne kryterium Hurwicza
Dla każdej decyzji wyznaczamy hipotetyczną wygraną postaci: Należy wybrać taką decyzję, dla której hipotetyczna wygrana jest największa 17/03/26 dr inż. Iwona Staniec

16 Macierz"żalu" Macierz wypłat transformujemy do postaci macierzy "żalu" . W tym celu: określamy maksymalną wypłatę dla każdego "stanu natury" w dalszym postępowaniu obliczamy wartości elementów według wzoru: Elementy macierzy "żalu" wyrażają stratę z powodu podjęcia decyzji nieoptymalnej z punktu widzenia zaistniałego stanu natury. 17/03/26 dr inż. Iwona Staniec

17 Kryteria nieprobabilistyczne Minimax "żalu"
Do macierzy "żalu" stosujemy postępowanie według reguły MinMax, tzn. wskazujemy decyzję, dla której największa strata ("żal") z powodu źle podjętej decyzji będzie możliwie najmniejsza, czyli 17/03/26 dr inż. Iwona Staniec

18 Kryteria probabilistyczne Maksymalna oczekiwana wygrana
Wybieramy taką decyzję, dla której wartość oczekiwanej wygranej (zysku) będzie największa, tj. 17/03/26 dr inż. Iwona Staniec

19 Kryteria probabilistyczne Minimalny oczekiwany "żal" (strata)
Wybieramy taką decyzję, dla której wartość oczekiwanej straty ("żalu") będzie najmniejsza, tj. 17/03/26 dr inż. Iwona Staniec

20 - prawdopodobieństwo uzyskania j-tego efektu finansowego.
W zarządzaniu działalnością gospodarczą wynik decyzji jest zwykle rozpatrywany z punktu widzenia rentowności danego przedsięwzięcia, a poszczególne stany natury są wyrażane w postaci efektów finansowych wynikających z różnych wyników podjętej decyzji. W takiej sytuacji wartość oczekiwana ma wymiar finansowy i stąd nazywamy ją oczekiwanym efektem finansowym. Parametr ten często oznacza się angielskim skrótem EMV (Expected Monetary Value) i oblicza się dla każdej strategii według równania: gdzie: - efekt finansowy j-tego stanu natury (wartości dodatnie dla zysku, wartości ujemne dla strat), - prawdopodobieństwo uzyskania j-tego efektu finansowego. 17/03/26 dr inż. Iwona Staniec

21 Przykład Przedsiębiorstwo ma możliwość uruchomienia produkcji i sprzedaży produktu luksusowego lub produktu popularnego. Dla każdej opcji decyzyjnej określono - na podstawie prognoz i analiz danych statystycznych - prawdopodobieństwa uzyskania sprzedaży dobrej, średniej i miernej oraz efekty finansowe tych wyników. Dla produktu luksusowego prawdopodobieństwo wystąpienia dobrej sprzedaży (z której dochody wyniosą zł) wynosi 0,4, sprzedaży średniej (o dochodzie zł) - 0,3 oraz sprzedaży miernej (dochód zł) - 0,3. Analogicznie dla produktu popularnego - prawdopodobieństwo dobrej sprzedaży wynosi 0,5 (dochód zł), sprzedaży średniej - 0,4 (dochód zł) i sprzedaży miernej - 0,1 (dochód tylko zł). Oceń, która z opcji decyzyjnych dotycząca wyboru nowej produkcji jest bardziej opłacalna dla przedsiębiorstwa. 17/03/26 dr inż. Iwona Staniec

22 Rozwiązanie Obliczamy wartość oczekiwaną dochodu dla produktu luksusowego (PL): EMV(PL) = 0,4* ,3* ,3*12000 = zł. Tak więc wartość oczekiwana dla PL wynosi zł. Podobnie liczymy dla produktu popularnego (PP): EMV(PP) = 0,5* ,4* ,1*10000 = zł. Z porównania wartości EMV(PL) i EMV(PP) wynika, że korzystniejszą opcją decyzyjną jest wprowadzenie na rynek produktu popularnego. 17/03/26 dr inż. Iwona Staniec

23 17/03/26 dr inż. Iwona Staniec

24 TEORIA KOLEJEK opracowanie na podstawie Jędrzejczyk Z., Skrzypek J., Kukuła K., Walkosz A. [1997]: Badania operacyjne w przykładach i zadaniach, PWN, Warszawa.

25 Teoria kolejek jednokanałowe systemy obsługi
wielokanałowe systemy obsługi 17/03/26 dr inż. Iwona Staniec

26 Kanał obsługi: stopa przybycia przeciętna liczba klientów przypadająca na jednostkę czasu, ma rozkład Poissona ; stopa obsługi przeciętna liczba klientów obsłużonych w jednostce czasu, ma rozkład wykładniczy; liczba równoległych kanałów obsługi r; parametr intensywności ruchu stosunek liczby klientów przybywających do liczby klientów obsłużonych w jednostce czasu. 17/03/26 dr inż. Iwona Staniec

27 Założenia w teoretycznym modelu:
rozpatrywane są tylko sytuacje w których klienci obsługiwani są według kolejności przybywania do punktu świadczącego usługę, zatem wszyscy klienci są traktowani na równi. 17/03/26 dr inż. Iwona Staniec

28 Rozpatruje się dwa przypadki:
Gdy układ zmierza do stanu równowagi (jeżeli obie wartości stałe) to prawdopodobieństwo tego, iż kolejka ma określoną długość, jest stałe w każdej jednostce czasu. gdy układ jest niestabilny, a prawdopodobieństwo długiej kolejki rośnie (układ nie może nadrobić czasu w którym był chwilowo niewykorzystany). 17/03/26 dr inż. Iwona Staniec

29 Przykład: Na poczcie obok innych stanowisk jedno jest przeznaczone do obsługi wpłat i wypłat gotówkowych osób fizycznych. Ruch w godzinach jest tak duży, że rozważa się możliwość uruchomienia dodatkowego stanowiska obsługi. Sprawdzić, czy jest to słuszna decyzja. Poniżej podano obserwacje poczynione w czasie jednej z godzin szczytowych. 17/03/26 dr inż. Iwona Staniec

30 Numer klienta Czas przyjścia liczony od przybycia poprzedniego klienta (w min) Czas obsługi klienta (w min) 1 1,5 11 5,5 2 0,5 2,5 12 4,5 3 13 4 14 5 15 6 16 7 17 8 18 3,5 9 19 10 20 Razem 40 60 17/03/26 dr inż. Iwona Staniec

31 Rozwiązanie stopa przybycia stopa obsługi parametr intensywności ruchu
Zatem zachodzi nierówność , czyli stopa przybyć przewyższa stopę obsługi. Wartość parametru sugeruje, że mamy do czynienia z układem niestabilnym, a prawdopodobieństwo długiej kolejki się zwiększa. Osiągnięcie stanu równowagi jest tylko możliwe dzięki podjęciu radykalnych działań: skróceniu czasu obsługi klienta zainstalowaniu dodatkowego stanowiska obsługi. 17/03/26 dr inż. Iwona Staniec

32 Prawdopodobieństwo, że w układzie brak klientów, czyli n=0 obliczamy ze wzoru:
17/03/26 dr inż. Iwona Staniec

33 Przeciętna liczba klientów oczekujących w kolejce to:
17/03/26 dr inż. Iwona Staniec

34 Prawdopodobieństwo, że w kolejce oczekuje n klientów określa wzór:
17/03/26 dr inż. Iwona Staniec

35 Prawdopodobieństwo, że w kolejce oczekuje więcej niż n0 klientów (pod warunkiem gdy ) określa wzór 17/03/26 dr inż. Iwona Staniec

36 Prawdopodobieństwo, tego że czas oczekiwania w kolejce jest dłuższy niż t0 określa wzór: 17/03/26 dr inż. Iwona Staniec

37 Przykład W prywatnej przychodni stomatologicznej czynne są dwa gabinety lekarskie. Przecięty czas przybycia pacjenta wynosi 3,8 na godz., a stopa obsługi wynosi 2 pacjentów na godz. 17/03/26 dr inż. Iwona Staniec

38 Czy system obsługi zmierza do stanu równowagi?
stan równowagi systemu jest zachowany, bo 17/03/26 dr inż. Iwona Staniec

39 Ile wynosi prawdopodobieństwo, że nie będzie kolejki?
Prawdopodobieństwo, że nie będzie kolejki w poradni stomatologicznej wynosi 36%. 17/03/26 dr inż. Iwona Staniec

40 Ile wynosi prawdopodobieństwo, że pacjent będzie musiał oczekiwać?
Prawdopodobieństwo, że pacjent będzie musiał oczekiwać na przyjęcie w poradni wynosi 64%. 17/03/26 dr inż. Iwona Staniec

41 Ile wynosi prawdopodobieństwo, że w kolejce znajdują się więcej niż dwie osoby?
Prawdopodobieństwo, że w kolejce znajdują się więcej niż dwie osoby wynosi 15%. 17/03/26 dr inż. Iwona Staniec

42 Ile wynosi prawdopodobieństwo, że pacjent będzie musiał oczekiwać w kolejce dłużej niż 0,5 godz.?
Prawdopodobieństwo, że pacjent będzie musiał oczekiwać w kolejce dłużej niż 0,5 godz. wynosi 11%. 17/03/26 dr inż. Iwona Staniec

43 Ile przeciętnie pacjentów oczekuje w kolejce na przyjęcie?
Przeciętnie oczekuje w kolejce na przyjęcie 0,28 pacjentów. 17/03/26 dr inż. Iwona Staniec

44 Jak wygląda sytuacja z punktu widzenia właściciela poradni?
Sytuacja z punktu widzenia właściciela poradni dla pacjentów jest komfortowa. Wprawdzie prawdopodobieństwo bezkolejkowego przyjęcia jest duże, bo wynoszące 0,36. Małe jest prawdopodobieństwo oczekiwania w kolejce więcej niż dwóch pacjentów, bo wynoszące 0,15. Bardzo małe jest prawdopodobieństwo, że pacjent będzie czekał dłużej niż pół godziny, bo wynosi 0,11. Z analizy wynika, że przeciętnie w kolejce oczekuje 0,28 pacjentów. 17/03/26 dr inż. Iwona Staniec