Dane INFORMACYJNE Nazwa szkoły: Zespół Szkół nr 2 Gimnazjum nr 4 im. Stanisława Staszica w Szamotułach ID grupy: 98/17_mf_g1 Opiekun: Lidia Piotrowska.

Prezentacja na temat: "Dane INFORMACYJNE Nazwa szkoły: Zespół Szkół nr 2 Gimnazjum nr 4 im. Stanisława Staszica w Szamotułach ID grupy: 98/17_mf_g1 Opiekun: Lidia Piotrowska."— Zapis prezentacji:

1

2 Dane INFORMACYJNE Nazwa szkoły: Zespół Szkół nr 2 Gimnazjum nr im. Stanisława Staszica w Szamotułach ID grupy: 98/17_mf_g1 Opiekun: Lidia Piotrowska Kompetencja: Fizyczno-matematyczna Temat projektowy: „W świecie liczb” Semestr/rok szkolny: Semestr 3/rok szkolny 2010/2011 2

3 NASZA GRUPA Filip Ola Adrianna Cyprian Roksana Marcin Weronika
Jarosław Dominik Z. Dominik J. Piotr Dominik N. 3

4 LIDER: Roksana SPRAWOZDAWCA: Adrianna & Marcin KRONIKARZ: Dominik N
LIDER: Roksana SPRAWOZDAWCA: Adrianna & Marcin KRONIKARZ: Dominik N.& Filip INFORMATYK: Jarosław FOTOGRAF: Dominik Z. POZOSTALI UCZESTNICY GRUPY BADAWCZEJ: Piotr & Weronika & Dominik J. & Ola & Cyprian 4

5

6 powiedzonka Kto pierwsze działania w nawiasach wykonuje, ten szóstki i laury kolekcjonuje. Mnożenie ułamków- nic prostszego: licznik razy licznik, mianownik razy mianownik, mój kolego. Nigdy nie dziel przez zero, bo to zawsze szkodzi kiedy się na matmę chodzi.

7 Zabawa z liczbami na dobry początek: data urodzenia?
Uzupełnij drzewko. W puste miejsce wpisuj wyniki działań. W okienko z literami wpisz odpowiednio: A - dzień swoich urodzin B - miesiąc swoich urodzin C - dwie ostatnie cyfry roku swoich urodzin Przeczytaj liczbę w okienku oznaczonym literą D. Co ona oznacza?

8 Powtarzamy co wiemy np.

9

10 Liczby olbrzymy 103 kilo k 106 mega M 109 giga G 1012 tetra T 1015
Liczebnik Wartość na długiej skali (np. Polska) Wartość na krótkiej skali (np. USA) tysiąc 103  milion 106 miliard 109 nie ma bilion 1012=106·2 109=103·2+3 biliard 1015=106·2+3 trylion 1018=106·3 1012=103·3+3 tryliard 1021=106·3+3 kwadrylion 1024=106·4 1015=103·4+3 kwintylion 1030=106·5 1018=103·5+3 sekstylion 1036=106·6 1021=103·6+3 septylion 1042=106·7 1024=103·7+3 oktylion 1048=106·8 1027=103·8+3 nonilion lub nonylion 1054=106·9 1030=103·9+3 decylion 1060=106·10 1033=103·10+3  103   kilo k  106 mega M  109 giga G  1012 tetra T  1015 peta P  1018 eksa E

11 Liczby bardzo małe - "liliputy"
Oznaczenie Nazwa naukowa Ile to jest     Nazwa potoczna       d decy 10-1 jedna dziesiąta c centy 10-2 jedna setna m mili 10-3 jedna tysiączna mikro 10-6 jedna milionowa n nano 10-9 jedna miliardowa p piko 10-12 jedna bilionowa f femto 10-15 jedna biliardowa a atto 10-18 jedna trylionowa

12 ciekawostka

13 Historia liczb

14 „0” Zero pojawiło się w historii zaskakująco późno. Starożytni Grecy, którzy ogromnie przyczynili się do rozwoju matematyki, nie znali pojęcia zera, co bardzo poważnie komplikowało ich sposób zapisywania liczb. Żmudną i niełatwą pracę stanowiło wykonywanie działań.

15 LICZBY NATURALNE Uważa się, że po raz pierwszy liczb zaczęto używać ok lat p.n.e. Z tego okresu pochodzą kości i inne artefakty, na których znaleziono ślady nacięć, uważane za próbę liczenia. Nie wiadomo, czy zliczano dobra, dni, czy może np. ludzi w konkurencyjnej grupie. Najstarszy znany przykład malowidła z kreskami, sugerującymi liczenie, pochodzi z jaskini w południowej Afryce.

16 ZAPIS POZYCYJNY Pierwszy znany pozycyjny system zapisu liczb pochodzi ze starożytnej Mezopotamii (ok p.n.e.), i bazuje na liczbie 60. Najstarszy dziesiątkowy system pozycyjny pochodzi z Egiptu (ok p.n.e.)

17 Liczby W rozważaniach o liczbach nie można pominąć znaków, za pomocą których wyrażamy liczby w piśmie. Te znaki nazywamy cyframi. Do najstarszych znaków cyfrowych należą: znaki babilońskie, egipskie, rzymskie, greckie, hinduskie i Majów.

18 Liczby babilońskie Babilońskich znaków używano w Mezopotamii około 5000 lat temu. Zachowały się do naszych czasów na glinianych tabliczkach.

19 Liczby babilońskie Cyfry od 1 do 9 wyglądały następująco: zaś cyfry 10, 20, 30, 40 i 50 wyglądały tak:

20 Zapisy liczb według Majów:

21 Liczby egipskie Prawie tak samo stare jak babilońskie są cyfry egipskie. Głównym źródłem naszych wiadomości o matematyce egipskiej jest tzw. Papirus Ahmesa (około p.n.e. ), pisarza faraona, znaleziony w roku1853 przez Anglika Rhinda. Zawiera wszystko, co w tamtej epoce Egipcjanom było znane w zakresie arytmetyki i geometrii.

22

23 Liczby rzymskie System rzymski zapisywania liczb wykorzystuje cyfry pochodzenia etruskiego, które Rzymianie przejęli i zmodyfikowali ok. 500 p.n.e.. 4 10 9 1000

24 |XL| = 40 * 100 = 4000 (zamiast MMMM)
Nie istnieją znaki dla liczb większych od 1000, choć można zapisywać większe liczby poprzez zapisanie liczby mniejszej 100 razy i umieszczenie jej między '|‘ np.: |MD| = 1500 * 100 = |XL| = 40 * 100 = 4000 (zamiast MMMM)

25 Liczby greckie W Grecji pierwotny sposób zapisu liczb, pochodzący z VI wieku p.n.e., polegał na zapisywaniu początkowych liter nazw liczb zamiast tych liczb. W tabeli prezentujemy przykładowe liczby greckie: Liczba 5 10 100 1000 10 000 Zapis grecki      czytamy pi delta hekto chi miriada Dodatkowe znaki utworzono za pomocą łączenia znaku 5 oraz jednego z pozostałych znaków, przy czym znak 5 przybierał najczęściej kształt uproszczony . Używano poza tym znaków: jako 50, jako 500, jako oraz jako 50 000.

26 Kalendarz

27 Kalendarz 30 000 p.n.e. Obecność nacięć numerycznych 3300 p.n.e
Pierwsze cyfry w Sumerze i Elamie. Pojawienie hieroglifów egipskich - pierwsza numeracja pisma 2000 p.n.e Pojawienie się bazy dziesiętnej 1800 p.n.e Numeracja babilońska - pierwsza numeracja pozycyjna VI w. p.n.e Odkrycie wartości niewymiernych. Pitagoras V w. n.e Numeracja pozycyjna Majów z zerem XIII w. Pojawia się pojęcie ciągu. Fibonacci

28 Kalendarz cd. XVI w. Początki używania ułamków okresowych. Bombelli. Bombelli i Cardan formułują pojęcie liczb zespolonych 1638 r. Sformułowanie pojęcia zbioru nieskończonego. Galileusz 1797 r. Gauss przedstawia liczby zespolone jako punkty na płaszczyźnie 1825 r. Odkrycie liczb algebraicznych. Abel 1843 r. Odkrycie kwaternionów. Hamilton 1844 r. Odkrycie liczb przestępnych. Liouville

29 Sposoby liczenia

30 Sposoby liczenia Dawno temu gdy mowa ludzka była jeszcze prymitywna a ludzie nie znali pisma jedynymi znanymi liczbami były 1 i 2

31 Krótka historia. Żeby wyrazić inne liczby używano kombinacji 1,2…. Np. 5=2,2,1 Liczebnikowi zawsze wtedy przypisywano przedmiot, który miał być policzony: 5 krów, 10 strzał, 20 wojowników itd. ponieważ liczba jest pojęciem abstrakcyjnym (a ludziom wtedy do zrozumienia rzeczy abstrakcyjnych było daleko). 31

32 Następnie… Gdy ludzie musieli coraz więcej liczyć musiały powstać pierwsze na narzędzia do liczenia: - Najpierw używano palców u rąk -Potem rysowali ilość kresek odpowiadających liczbie IIIIIIIII -Równocześnie pojawiło się liczenie po 10 (tzw. system dziesiętny) -Następnie sposób ósemkowy, szesnastkowy… 32

33 System dziesiętny Dziesiętny system liczbowy, zwany też systemem decymalnym lub arabskim to pozycyjny system liczbowy, w którym podstawą pozycji są kolejne potęgi liczby 10. Do zapisu liczb potrzebne jest więc w nim 10 cyfr: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Jest to najczęściej wykorzystywany system liczenia na świecie 33

34 ciekawostka Liczydło górskie Ta piękna roślina (streptopus amplexifolius) z grupy konwaliowych nie bez powodu nosi swoją matematyczną nazwę. Jej owoce przywodzą na myśl ułożone w rzędach dziesiętnych koraliki szkolnego liczydła. Pochodzi z Ameryki Południowej. Jest unikatowa w skali Europy, rośnie jednak m.in. na Dolnym Śląsku - w sudeckich lasach, głównie w Karkonoszach i Kotlinie Kłodzkiej (Góry Stołowe, Bystrzyckie), gdzie występuje w piętrach regla górnego i kosodrzewiny. Można ją także spotkać w Karpatach, w Górach Świętokrzyskich, w okolicach Olesna i Dobrodzienia (na Opolszczyźnie) i na Górnym Śląsku (w rezerwacie przyrody Ochojec). Podlega ścisłej ochronie. Roślina kwitnie na przełomie maja i czerwca, a pełnię krasy osiąga w okresie owocowania pod koniec lata.

35 System ósemkowy Ósemkowy system liczbowy to pozycyjny system liczbowy o podstawie 8. System ósemkowy jest czasem nazywany oktalnym od słowa octal. Do zapisu liczb używa się w nim ośmiu cyfr, od 0 do 7. Jak w każdym pozycyjnym systemie liczbowym, liczby zapisuje się tu jako ciągi cyfr, z których każda jest mnożnikiem kolejnej potęgi liczby będącej podstawą systemu, np. liczba zapisana w dziesiętnym systemie liczbowym jako 100, w ósemkowym przybiera postać 144, gdyż: 1×82 + 4×81 + 4×80 = = 100. 35

36 System szesnastkowy Szesnastkowy system liczbowy– pozycyjny system liczbowy, w którym podstawą jest liczba 16. Do zapisu liczb w tym systemie potrzebne jest szesnaście cyfr. 36

37 W najpowszechniejszym standardzie poza cyframi dziesiętnymi od 0 do 9 używa się pierwszych sześciu liter alfabetu łacińskiego: A, B, C, D, E, F (dużych lub małych). Cyfry 0-9 mają te same wartości co w systemie dziesiętnym, natomiast litery odpowiadają następującym wartościom: A = 10, B = 11, C = 12, D = 13, E = 14 oraz F = 15. Dlatego, np. liczba zapisana w dziesiętnym systemie liczbowym jako 1000, w systemie szesnastkowym przybiera postać 3E8 37

38 Są to trzy najpopularniejsze systemy liczenia na świecie
Oprócz nich występują także inne systemy np. kwantowy itd.… 38

39 Rozwiązujemy zadania

40 i bawimy się …

41

42 4 3 6 1 2 1 4 5 1 4 2 5 5 4 5 3 2 1 4

43 Różnorodność liczb

44 Zbiór liczb rzeczywistych
Elementy zbioru oznaczamy małymi literami np. a, b, c, ..., a to, że dany elementy przynależy do jakiegoś zbioru zapisujemy znakiem Jeśli element nie należy do zbioru używamy symbolu - element x należy do zbioru A. - element b NIE należy do zbioru K. Zbiór o określonych elementach zapisujemy w nawiasach sześciennych {}. Zapis oznacza zbiór A o trzech elementach a, b oraz c. Podzbiór jest to zbiór zawierający elementy zbioru nadrzędnego. Zbiór {1, 2} jest podzbiorem zbioru {1, 2 , 3} co zapisujemy jako . Inaczej zbiór {1, 2 , 3} zawiera zbiór {1, 2}. Kolejność ustawienia elementów nie jest ważna.

45 Suma zbiorów A i B jest to zbiór zawierający wszystkie elementy należące do zbioru A lub do zbioru B. Część wspólna zbiorów A i B jest to zbiór zawierający te elementy, które należą do zbioru A i do zbioru B. Różnica zbiorów A - B jest to zbiór zawierający te elementy, które należą do zbioru A i nie należą zbioru B.

46 ZBIÓR LICZB NIEWYMIERNYCH NW
liczbą niewymierną nazywamy tę liczbę, która nie jest liczbą wymierną, a więc nie da się przedstawić w postaci ilorazu liczb p i q. Rozwinięcie dziesiętne liczby niewymiernej jest nieskończone i nieokresowe. Do liczb niewymiernych zaliczamy np.: liczbę pi

47 Liczby całkowite Liczbami całkowitymi nazywamy liczby ciągu naturalnego 0, 1, 2, 3, ... i liczby ujemne - 1, - 2, - 3, Standardowo - w literaturze matematycznej - zbiór liczb całkowitych oznacza się literą Z, w polskiej szkole literą C. Zbiór naturalnych jest podzbiorem zbioru liczb całkowitych 

48 Podstawowe pojęcia i twierdzenia
Suma, różnica i iloczyn dwóch liczb całkowitych a i b jest liczbą całkowitą. W zbiorze C wykonalne są więc działania dodawania, odejmowania i mnożenia. Wynik dzielenia a przez b (b≠0 )może być liczbą całkowitą albo niecałkowitą.

49 DZIAŁANIA I PRAWA DZIAŁAŃ
DODAWANIE SUMA a + b = c liczby a i b - składniki sumy c - wartość sumy a + 0 = a 0 - element neutralny dodawania prawo przemienności dodawania: a + b = b + a prawo łączności dodawania: (a + b) + c = a + (b + c) ODEJMOWANIE RÓŻNICA a - b = c a - odjemna b - odjemnik c - wartość różnicy a - b = a + (- b) a - b = c <==> a = b + c Odejmowanie jest działaniem odwrotnym do dodawania MNOŻENIE ILOCZYN a * b = c liczby a i b - czynniki c - wartość iloczynu a * 1 = a 1 - element neutralny mnożenia prawo przemienności mnożenia: a * b = b * a prawo łączności mnożenia: (a * b) * c = a * (b * c) prawo rozdzielności mnożenia względem dodawania: a * (b + c) = a * b + a * c DZIELENIE ILORAZ a : b = c a - dzielna b - dzielnik c - wartość ilorazu a : b = a * (1/b), gdzie b różne od 0 jeżeli b różne od 0, to a : b = c <==> a = b * c Dzielenie jest działaniem odwrotnym do mnożenia.

50 POTĘGI I PIERWIASTKI POTĘGĄ liczby rzeczywistej o wykładniku naturalnym n (n większe lub równe 1) nazywamy iloczyn n jednakowych czynników: Jeżeli a jest różne od zera i n = 0, to a0 = 1 Jeżeli a jest dowolną liczbą rzeczywistą i n = 1, to a1 = a

51 PIERWIASTKIEM PIERWIASTKIEM stopnia n liczby nieujemnej a, nazywamy taką liczbę nieujemną b, która podniesiona do potęgi n daje a: n - stopień pierwiastka a - liczba podpierwiastkowa b - pierwiastek n-tego stopnia z liczby a (wartość pierwiastkowania)

52 PROCENTY Jeden procent (1%) pewnej liczby a (lub innej wielkości), nazywamy setną część tej liczby (wielkości) i oznaczamy 1% a

53 Podczas pracy… poszukiwania wiedzy

54 Liczby pierwsze

55 "Liczby naturalne stworzył. dobry Bóg, a całą resztę
"Liczby naturalne stworzył dobry Bóg, a całą resztę wymyślili ludzie" - powiedział wybitny matematyk niemiecki XIX wieku, Leopold Kronecker.

56 Liczba pierwsza, to liczba naturalna p>1, której jedynymi dzielnikami są: liczba 1 oraz p. Liczby 1 nie zalicza się do liczb pierwszych. Kolejnymi liczbami pierwszymi są: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19,…

57 Sito eratostenesa W III w. p.n.e. grecki matematyk Eratostenes z Cyreny podał metodę wyznaczania liczb pierwszych zwaną Sitem Eratostenesa. Dzięki tej metodzie możemy sporządzić tablicę kolejnych liczb pierwszych nie większych od danej liczby n.

58 CIekawostki Największa znana obecnie liczba pierwsza jest ogromna - ma ona 2 098 960 cyfr. Gdyby zapisać cyfry tej liczby jedna za drugą na pasku papieru, to miałby on długość ponad 4 km.

59 Ciekawostki cd. Są liczby pierwsze złożone z samych jedynek , np.23-cyfrowa Ciekawymi liczbami pierwszymi są też: , , , , , , , , , ,

60 Liczby złożone Liczby złożone to liczby naturalne n>1, które mają więcej niż dwa dzielniki. Nie są liczbami pierwszymi. Każda liczba złożona jest iloczynem liczb pierwszych, przy czym rozkład na czynniki pierwsze jest jednoznaczny, tj. dwa rozkłady mogą różnić się jedynie kolejnością czynników

61 Poniższe liczby naturalne są przykładami liczb złożonych:

62 Liczby kwadratowe

63 Liczby kwadratowe Kwadrat dowolnej liczby całkowitej kończy się jedną z cyfr: 0, 1, 4, 5, 6, 9. Oznacza to, że liczby te są resztami kwadratowymi modulo 10. Liczby 2, 3, 7 i 8 są nieresztami modulo 10. Resztami kwadratowymi modulo 8 są liczby 0, 1 i 4. Nieresztami są liczby 2, 3, 5, 6, 7. Wynika stąd, że kwadrat dowolnej liczby nieparzystej daje z dzielenia przez 8 resztę 1.

64 Liczby kwadratowe cd. Liczby kwadratowe są szczególnymi przypadkami liczb wielokątnych. Liczba kwadratowa wyraża ilość pewnych jednostek, za pomocą których możemy "wypełnić kwadrat". Sposób na odnalezienie kolejnych liczb kwadratowych wyraża się wzorem: kn = n2 = (2n - 1), gdzie n jest liczbą naturalną. Liczby kwadratowe są więc kwadratami kolejnych liczb naturalnych. Pitagoras wykazał, że suma kolejnych liczb nieparzystych daje pełny kwadrat = = = 42

65 Liczba sześcienna Niewielkie wielościany z umieszczonymi na poszczególnych bokach liczbami (oczkami). Wykorzystuje się je w grach planszowych, fabularnych, bitewnych i hazardowych w celu generowania losowych wyników. Najczęściej spotykane są kości sześcienne.

66 Trójkąt Pascala

67 Trójkąt Pascala jest to trójkątna tablica liczb:

68 Na bokach trójkąta znajdują się liczby 1, a pozostałe powstają jako suma dwóch bezpośrednio znajdujących się nad nią. Liczby stojące w n-tym wierszu to kolejne współczynniki dwumianu Newtona.

69 Własności trójkąta Na skrajnych bocznych (zerowy) rzędach trójkąta są jedynki. W kolejnym (pierwszym) skrajnym bocznym rzędzie są kolejne liczby naturalne (1, 2, 3, 4, ...). W drugim rzędzie różnice między sąsiednimi liczbami są kolejnymi liczbami naturalnymi (są to liczby trójkątne). Liczby trójkątne podają liczbę okręgów ułożonych w kształt trójkąta (1, 3, 6, 10, ...). W trzecim liczby piramidalne, podają liczbę kulek ułożonych czworościan foremny (1, 4, 10, 20, 35) W czwartej liczbę kul w "czworościanie" w przestrzeni czterowymiarowej.

70 Kwadrat magiczny

71 Kwadrat magiczny – tablica składająca się z n wierszy i n kolumn (n>2), w którą wpisano n2 różnych dodatnich liczb naturalnych w ten sposób, że suma liczb w każdym wierszu, w każdej kolumnie i w każdej przekątnej jest taka sama (tzw. suma magiczna). Kwadrat, w którym suma liczb w każdym wierszu i każdej kolumnie jest taka sama, ale sumy liczb w przekątnych są różne, nazywa się półmagicznym.

72

73 Liczby palindromiczne

74 Co to jest palindrom? Palindrom (gr. palindromeo – biec z powrotem) – wyrażenie brzmiące tak samo czytane od lewej do prawej i od prawej do lewej. Przykładem palindromu jest: Kobyła ma mały bok. Współcześnie palindromy pełnią funkcję gry słownej. Prawdopodobnie tak było również i w przeszłości, choć pewne znaleziska sugerują, że palindromy mogły też mieć znaczenie magiczne.

75 Palindromy liczbowe Palindromami mogą być liczby w danym systemie liczbowym, od najprostszych, dwucyfrowych, począwszy. Każdy palindrom liczbowy w systemie dziesiętnym złożony z parzystej liczby cyfr jest podzielny przez 11.

76 Przykłady liczb Przykłady liczb palindromicznych: np :11=25452 i inne 55, 494, 30703,22, 414, 5115, 7, 57775, 626,989,

77 Liczby bliźniacze

78 Liczby bliźniacze Liczby bliźniacze to takie dwie liczby pierwsze, których różnica wynosi 2. Przykłady: 3 i 5 5 i 7 11 i i 19

79 Liczby zaprzyjaźnione

80 Liczby zaprzyjaźnione
Gdy zapytano Pitagorasa: "Co to jest przyjaciel?" - odpowiedział: "Przyjaciel to drugi ja; przyjaźń, to stosunek liczb 220 i 284". Stąd podobno pochodzi owa niezwykła nazwa liczb zaprzyjaźnionych. W starożytności liczbom zaprzyjaźnionym przypisywano znaczenie mistyczne. Dwie liczby A i B nazywają się zaprzyjaźnionymi jeżeli suma wszystkich dzielników liczby A (mniejszych od niej samej) jest równa liczbie B i odwrotnie, suma wszystkich dzielników liczby B (mniejszych od niej samej) jest równa liczbie A.

81 Takimi liczbami "przyjaciółkami" są liczby jak wykazał Pitagoras: 220 i 284. Istotnie, 220= , a więc liczba 220 jest sumą dzielników liczby 284, a 284= , a więc liczba 284 jest sumą dzielników liczby 220. Każda liczba doskonała jest zaprzyjaźniona sama ze sobą.

82 Przykłady liczb zaprzyjaźnionych

83 ciekawostka Na początku 2001 roku Mariano Garcia znalazł milionową parę liczb zaprzyjaźnionych. W maju tego samego roku znaleziono już takich par aż !

84 Liczby trójkątne

85 Podczas budowania konstrukcji z klocków w kształcie piramidy, trzeba pamiętać, by klocek z kolejnej warstwy leżał na dwóch klockach z warstwy poprzedniej. Po ułożeniu podstawy musimy postawić na niej ścianę złożoną o jeden klocek mniej. Układamy tak długo, aż na szczycie będzie tylko jeden klocek. Piramida skończona i powstaje tylko pytanie: ilu klocków potrzeba było do jej zbudowania? Oznaczmy przez Tn liczbę klocków potrzebną do budowy piramidy złożonej z n klocków. Łatwo możemy obliczyć tę liczbę, gdyż jest ona zawsze sumą liczb naturalnych od 1 do n (dla n > 0). Liczbę tą nazwano trójkątną. Liczba trójkątna jest sumą n kolejnych liczb naturalnych, która wyraża się wzorem: Tn = n ( n + 1 ) 2 Podobno wzór wymyślił młody Gauss, gdy nudził się na lekcji matematyki. Liczby trójkątne są równe odpowiednim współczynnikom newtonowskim.

86 Liczby przestępne

87 Liczby przestępne to liczby rzeczywiste nie spełniające żadnego równania algebraicznego o całkowitych współczynnikach (pozostałe liczby rzeczywiste są liczbami algebraicznymi). Liczbą przestępną jest np.: π, e (Ch. Hermite) oraz każda liczba postaci ab, gdzie a jest liczbą algebraiczną różną od 0 lub 1, b zaś jest liczbą niewymierną, ale algebraiczną. Istnienie liczb przestępnych odkrył J. Liouville (1844).

88 Międzynarodowy Dzień Liczby Pi
Datę 14 marca w notacji amerykańskiej zapisuje się jako 3.14, co kojarzy się z przybliżeniem liczby pi. Wiele amerykańskich szkół obchodzi wtedy święto matematyki tzw. Pi Day [czyt. pajdej]. Warto przypomnieć, że dzień ten jest jednocześnie rocznicą urodzin Wacława Sierpińskiego i Alberta Einsteina. Zwyczaj ten przywędrował także do Polski.

89 Później przyjęła się na π również nazwa ludolfina, na pamiątkę niemieckiego matematyka i szermierza Ludolfa van Ceulena [wym. fan kölena], który w roku obliczył ją z dokładnością do 35 miejsc po przecinku, stosując metodę Archimedesa i przybliżając obwód koła obwodem wielokątów foremnych (wpisanego i opisanego) o 262 bokach.

90 Wisława Szymborska Liczba Pi
Podziwu godna liczba Pi trzy koma jeden cztery jeden. Wszystkie jej dalsze cyfry też są początkowe pięć dziewięć dwa, ponieważ nigdy się nie kończy. Nie pozwala się objąć sześć pięć trzy pięć spojrzeniem, osiem dziewięć obliczeniem, siedem dziewięć wyobraźnią, a nawet trzy dwa trzy osiem żartem, czyli porównaniem cztery sześć do czegokolwiek dwa sześć cztery trzy na świecie. Najdłuższy ziemski wąż po kilkunastu metrach się urywa. Podobnie, choć trochę później, czynią węże bajeczne.

91 Korowód cyfr składających się na liczbę Pi nie zatrzymuje się na brzegu kartki, potrafi ciągnąć się po stole, przez powietrze, przez mur, liść, gniazdo ptasie, chmury, prosto w niebo, przez całą nieba wzdętość i bezdenność. O, jak krótki, wprost mysi, jest warkocz komety! Jak wątły promień gwiazdy, że zakrzywia się w lada przestrzeni! A tu dwa trzy piętnaście trzysta dziewiętnaście mój numer telefonu twój numer koszuli rok tysiąc dziewięćset siedemdziesiąty trzeci szóste piętro ilość mieszkańców sześćdziesiąt pięć groszy obwód w biodrach dwa palce szarada i szyfr, w którym słowiczku mój a leć, a piej oraz uprasza się zachować spokój, a także ziemia i niebo przeminą, ale nie liczba Pi, co to to nie, ona wciąż swoje niezłe jeszcze pięć, nie byle jakie osiem, nie ostatnie siedem, przynaglając, ach przynaglając gnuśną wieczność do trwania.

92 Liczby doskonałe

93 Liczba doskonała to taka liczba, która jest równa sumie wszystkich swoich dzielników mniejszych od niej samej. Pierwsza liczba doskonała to 6. D6 = { 1, 2, 3, 6 } 6 = k  2k-1 Liczby doskonałe     ...

94 Liczby gnomiczne

95 Liczby gnomiczne to liczby postaci 2n+1, które dodane do kwadratu liczby n dają kwadrat następnej liczby.

96 Liczby lustrzane

97 Liczby lustrzane to takie dwie liczby, które są lustrzanym odbiciem.
Przykłady: 23 – 32 46 – 64 5693 – 3965

98 Liczby fermata

99 „Jestem przekonany, że 22n + 1 jest zawsze liczbą pierwszą
„Jestem przekonany, że 22n + 1 jest zawsze liczbą pierwszą. Nie mam na to pełnego dowodu, ale wykluczyłem tak wielką liczbą podzielników z pomocą dowodów nie do obalenia, i tak wielkie światło przyświeca mej myśli, że z trudem mógłbym odrzucić tę hipotezę.” Liczby tej postaci nazwano dla upamiętnienia Fermata, który pierwszy badał ich własności.

100 Liczby Pitagorejskie

101 W teorii liczb takie trzy liczby całkowite dodatnie a, b, c, które spełniają tzw. równanie Pitagorasa: a2 + b2 = c2 Ich nazwa pochodzi od twierdzenia Pitagorasa, na mocy którego boki trójkąta prostokątnego spełniają powyższą zależność. c2 a2 b2 3, 4, 5 9, 40, 41 13, 84, 85 5, 12, 13 10, 24, 26 14, 48, 50 6, 8, 10 12, 16, 20 15, 36, 39 7, 24, 25 11, 60, 61 16, 30, 34 8, 15, 17 12, 35, 37 18, 24, 30 9, 12, 15 15, 20, 25 20, 21, 29

102 Liczba Szeherezady to liczba 1001, która występuje w tytule książki Baśnie z tysiąca i jednej nocy.

103 Liczba ta ma kilka ciekawych własności:
• jest najmniejszą liczbą czterocyfrową, którą można przedstawić w postaci sumy sześcianów dwóch liczb naturalnych = , • składa się z 77 feralnych trzynastek lub 91 jedenastek, albo z 143 siódemek (siódemka uważana była za liczbę magiczną), jest podzielna przez 7, 11 i 13, dlatego wykorzystuje się ją do badania podzielności liczb przez 7, 11 i 13

104 Badanie podzielności przez 11 za pomocą liczby Szeherezady
Metoda ta polega na przedstawieniu badanej liczby w postaci 1001a + b, gdzie: a jest liczbą naturalną, b – liczbą całkowitą, i zbadaniu podzielności liczby b. Sprawdźmy w ten sposób, czy liczba jest podzielna przez 11, wykorzystując liczbę Szeherezady: = 280 · = 280 · − = = 280 · ( ) − = 280 · Liczba 33 dzieli się przez 11, zatem liczba = 280 · także dzieli się przez 11.

105 Podzielność przez 7 i 13 Podobnie można badać podzielność liczb przez 7 i 13. Jeżeli różnica dzieli się przez 7 (lub 13), to dana liczba dzieli się przez 7 (lub 13). UWAGA: Warto jeszcze powiedzieć, co dzieje się w przypadku większych liczb

106 np. Badając liczbę przez 7, obliczamy najpierw różnicę − 875 = Następnie sprawdzamy, czy liczba jest podzielne przez 7 (946 − 113 = 833). Ponieważ liczba 833 jest podzielna przez 7, to także liczby i są podzielne przez 7. UWAGA: W wypadku mniejszych liczb szybciej sprawdzimy podzielność, wykonując dzielenie pisemne.

107 ;)

108 Zabawy z liczbami Praca plastyczna – liczby wokół nas
Efekt

109 Podczas pracy w grupach

110

111 Potem prace ocenialiśmy sobie wzajemnie

112 Nasza broszurka

113

114

115

116

117

118 Gry Podsumowanie rezultatów

119 Podczas zabawy

120

121

122 SZUKALIŚMY RÓWNIEŻ FAJNYCH GIER Z LICZBAMI W INTERNECIE
NAZWA ADRES Kolorowanka Czarodziejskie Liczby Ukryte liczby Zabawy z liczbami Budowanie Mostu

123 kolorowanki Polecenie: Oblicz i dobierz kolor

124 ciąg Fibonacciego ciąg ten podał w 1202 roku Leonard z Pizy
zwany Fibonaccim w swoim dziele Liber abaci jako rozwiązanie zadania o rozmnażaniu się królików

125

126 Liczby Fibonacciego to matematyczny ciąg liczbowy, którego wartości i stosunki odpowiadają zadziwiająco licznym i różnorodnym zjawiskom przyrodniczym i artystycznym. 1, 1, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, … pierwszy i drugi wyraz to 1, każdy następny to suma dwóch poprzednich,

127 Liczba jest istotą wszystkich rzeczy.
Pitagoras

128 Złota liczba

129 Złoty podział Podział odcinka na takie dwie nierówne części, że stosunek większej części do mniejszej wynosi tyle samo, ile stosunek całego odcinka do większej części nazywa się złotym podziałem (złotym cięciem).

130 Złoty podział odcinka liczba wyrażająca stosunek złotego podziału to złota liczba (oznaczana grecką literą φ (fi)). Przedstawiamy obliczenia liczby złotej liczby φ i różne inne zależności a b a + b a + b a b

131 Własności złotej liczby
Aby podnieść do kwadratu złotą liczbę, wystarczy dodać do niej jedynkę. Aby znaleźć odwrotność złotej liczby, wystarczy odjąć od niej jedynkę. Potęgi złotej liczby są liniowo zależne od tej liczby. (Współczynniki przy φ, jak i wyrazy wolne, są kolejnymi wyrazami ciągu Fibonacciego). Liczymy kilka potęg liczby złotej

132 Parthenon na Akropolu fronton świątyni mieści się w złotym prostokącie
plan świątyni jest złotym prostokątem

133 Apollo Belwederski Twórcą rzeźby był Leochares (IV wiek pne.)
Linia I dzieli na dwie części całą postać w złotej proporcji, linia E wskazuje złotą proporcję między głową a górną częścią tułowia, linia O zaznacza podział nóg w kolanach według złotego cięcia.

134 Ciąg Fibonacciego a złota liczba
Dzieląc każdą z liczb tego ciągu przez poprzednią otrzymujemy coraz lepsze przybliżenia złotej liczby: 3:2=1,5 5:3=1,(6) 8:5=1,6 13:8=1,625 … 89:55=1,61818… 144:89=1,61797… Wzór ogólny ciągu (φ-złota liczba) – wzór Bineta:

135 Człowiek witruwiański
Rysunek ołówkiem i piórkiem na papierze, przedstawiający nagiego mężczyznę, którego ciało z rozłożonymi rękami i nogami wpisane jest w kwadrat i okrąg, prawdopodobnie najsłynniejszy obrazek świata. Sporządzony został przez Leonarda da Vinci około roku 1490. Mimo jego popularności, niewiele ludzi wie, jak rysunek się nazywa i jakie sekrety skrywa. Leonardo w geometryczny sposób przypomniał o boskiej naturze duszy ludzkiej.

136

137 „Jeśli wszechświat jest geometryczny w swej istocie, to powinno się to manifestować w środowisku przyrodniczym. Geometryczne kształty znajdujemy w świecie przyrody ożywionej i nieożywionej. „

138 Złote cięcie w przyrodzie
Liczby Fibonacciego rządzą układem liści prawie wszystkich roślin. Na wspólnej gałązce między każdymi dwiema parami listków trzecia para leży w miejscu złotego cięcia. Niektóre drzewa rozrastają się według modelu Fibonacciego: każda gałąź przez pierwszy rok jedynie wzrasta, a w każdym następnym roku wypuszcza jedną młodą gałąź.

139 Łuski ananasa, szyszek sosnowych, pestki w słonecznikach tworzą dwa układy linii spiralnych prawoskrętnych i lewoskrętnych. Liczby tych spiral to kolejne liczby Fibonacciego Szyszka Słonecznik Ananas 8 i 13

140 Stokrotka 1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144, itd...

141 Złoty trójkąt 36º A C B D trójkąt równoramienny, w którym stosunek ramienia do podstawy jest równy złotej liczbie to złoty trójkąt. w złotym trójkącie kąt między ramionami ma 36°. Przedstawić dowód

142 Złoty prostokąt W złotym prostokącie stosunek długości do szerokości jest złotą liczbą b a a - b Prostokąt otrzymany po odcięciu możliwie największego kwadratu jest złotym prostokątem

143 Liczby Fibonacciego a złoty prostokąt
8 1 2 3 5

144 "Dlaczego w świecie organizmów żywych figurą geometryczną najczęściej spotykaną jest pięciokąt, w nieożywionym zaś - sześciokąt? Dlaczego nie tylko dzieła kunsztu ludzkiego, ale i twory przyrody wykazują w swej budowie określone proporcje liczbowe? Czy to przypadek, że te proporcje wyrażają się bardzo często "złotą liczbą" 1,618 i że napotykamy je zarówno w ciele ludzkim, jak i w egipskich piramidach? "

145 Pięciokąt foremny wszystkie boki równe wszystkie kąty równe,
wszystkie przekątne równe, każda przekątna jest równoległa do jednego  boku.

146 Pięciokąt foremny a złota liczba
punkt przecięcia przekątnych pięciokąta foremnego wyznacza ich złoty podział. przekątna pięciokąta foremnego pozostaje w złotej proporcji z jego bokiem. złoty stosunek w pięciokącie foremnym odkrył i udowodnił Hippasus (V wiek pne). Pięciokąt foremny a złota liczba Pięciokąty foremne w ogrodzie

147 Pięciokątna ryba

148 Pentagram pięciokąt foremny gwiaździsty gwiazda pitagorejska
godło Bractwa Pitagorejczyków symbol doskonałości według Pitagorejczyków.

149 Własności pentagramu miara kąta w wierzchołku pentagramu jest równa 36º. suma kątów przy wierzchołkach pentagramu wynosi 180°. we wszystkich punktach skrzyżowania promieni gwiazdy pitagorejskiej jest złote cięcie. złotemu podziałowi podlega cały promień gwiazdy oraz jego dłuższa część powstała w wyniku podziału.

150 Dwunastościan foremny
Wierzchołki trzech wzajemnie do siebie prostopadłych złotych prostokątów wpisanych w dwunastościan foremny znajdują się w środkach ścian tego wielościanu.

151 Dwudziestościan foremny
Wierzchołki trzech wzajemnie do siebie prostopadłych złotych prostokątów wpisanych w dwudziestościan foremny znajdują się w 12 wierzchołkach tego wielościanu.

152 Spirala muszla nautilusa kolejne punkty wyznaczające złoty podział leżą na spirali równokątnej muszle

153 Nawiązanie do ostatniego wykładu w tym roku szkolnym
„Fraktale i ich zastosowanie”

154 FRAKTALE Fraktale : nie można jednoznacznie nazwać ich kształtów,
charakteryzują się one dużym samopodobieństwem (fragment przypomina całość)

155 LICZBY FIBONACCIEGO Boski kanon piękna: fraktale 155 155

156 Ciekawostka: CIĄG LICZB FIBONACCIEGO NA GIEŁDZIE
Istnieją trzy sposoby wykorzystania ciągu liczb Fibonacciego do analizy papierów wartościowych: metody cenowe – w odniesieniu do zmiany ceny, metody czasowe – w odniesieniu do upływu czasu, metody cenowo-czasowe – w odniesieniu do upływu czasu i zmiany ceny. 156 156

157 Zdrowie ukryte w liczbach

158 Liczba BMI to współczynnik masy ciała, za którym zaczyna się nadwaga. BMI to współczynnik powstały przez podzielenie masy ciała podanej w kilogramach przez kwadrat wysokości podanej w metrach.

159 Ciekawostka: Liczby zespolone.

160 Liczby zespolone pojawiły się jako rozwiązania równań kwadratowych.
Np. Można zastanawiać się jakie są rozwiązania równania x2 + 1 = 0? Jeśli ma ono rozwiązanie, musi być nim liczba, której kwadrat wynosi -1. Ale kwadrat każdej liczby rzeczywistej jest dodatni. Jeśli chcemy, by mimo wszystko powyższe równanie miało jakieś rozwiązanie, trzeba wymyślić jakieś nowe liczby, których kwadrat byłby ujemny. Tak uczyniono i do liczb rzeczywistych dodano liczby urojone, stworzone specjalnie po to, by uzyskać kwadrat ujemny! Nowy byt matematyczny nazwano imaginarius, oznaczono pierwiastek z liczby -1 literą i oraz określono działania, aby móc liczyć. I tak powstały liczby zespolone. Oznaczamy symbolicznie C.

161 "Liczby rządzą światem. " Pitagoras

162 Magiczna liczba W starożytności niektórym liczbom przypisywano moc magiczną. Ów mistycyzm liczbowy został zapoczątkowany przez Pitagorasa i jego uczniów. Za ich pośrednictwem rozpowszechnił się po całej Grecji i w szczątkowej postaci przetrwał aż do naszych czasów. Stąd na przykład mamy feralną trzynastkę. Jednak największą moc magiczną przypisywano w starożytności liczbie 7. Wiele faktów historycznych i kulturalnych, wiele dzieł rąk ludzkich powiązano z siódemką.

163 Oto niektóre z nich: Siedem cudów świata starożytnego.
Siedmiu mędrców starożytności. Siedem kryształowych sfer. Siedem dni w tygodniu. Siedem tonów gamy. Siedem krów tłustych i siedem krów chudych. Siedem sztuk wyzwolonych: artes liberales. Za siedmioma górami, za siedmioma lasami ... Oto niektóre z nich: Siedem pięknych dziewcząt i siedmiu chłopców ateńskich składanych rok rocznie na pożarcie Minotaurowi, potworowi w postaci byka, pół człowieka, którego król Minos jego ojciec zamknął w labiryncie na wyspie Krecie, żeby nie mógł wydostać się stamtąd. W starej polszczyźnie siódemka otoczona była nimbem tajemniczości. Świadczy o tym chociażby "Kronika polska, litewska, żmudzka i wszystkiej Rusi", w której jest między innymi zapis: " ...Wziął Jagiełło księciu opolskiemu za 7 dni 7 zamków, ale pod zamkiem Bolesławem 7 lat leżeli Polacy, aż im się poddał ..."

164 Siedem cudów świata starożytnego
PIRAMIDY EGIPSKIE Na szczególną uwagę zasługuje piramida Cheopsa zbudowana około 2800 lat p.n.e. Obwód jej podstawy wynosi prawie kilometr, a wysokość 146,6 m. LATARNIA MORSKA Zbudowana była na wyspie Faros, niedaleko ujścia Nilu. Miała 170 m wysokości i była zbudowana z białego marmuru. Budowlę wieńczyła kopuła i wykonany z brązu posąg Posejdona (7 m wysokości). Na jej szczycie co noc rozpalano olbrzymi ogień, którego blask przy dobrej pogodzie było widać nocą w odległości blisko 60 km.

165 ŚWIĄTYNIA ARTEMIDY Efezie (Azja Mniejsza)
WISZĄCE OGRODY królowej babilońskiej Semiramidy  Zbudowane rzekomo w VII w. p.n.e. Ogrody Semiramidy składały się z piętrzących się jeden nad drugim tarasów, na których rosły drzewa i krzewy sprowadzone z różnych krajów świata. MAUZOLEUM Grobowiec zbudowany w mieście Halikarnasie, w Azji Mniejszej, ku czci króla Mauzolosa przez jego żonę Artemizję w IV w. p.n.e. ŚWIĄTYNIA ARTEMIDY  Efezie (Azja Mniejsza) Była to największa świątynia grecka, długości 105 m, szerokosci 50 m i wysokości 18 m (IV w. p.n.e.).

166 Wybraliśmy się na wycieczkę do Berlina i na Wyspie Muzeów…
mogliśmy zobaczyć… Muzeum pergamońskie

167 KOLOS RODYJSKI Posąg boga Heliosa postawiony ok. 290 r.  p.n.e. Miał 32 m wysokości, był odlany ze spiżu i stał u wejścia do portu na wyspie Rodos. POSĄG ZEUSA OLIMPIJSKIEGO w Olimpii Dzieło wielkiego rzeźbiarza Fidiasza z V w. p.n.e. Miał 14 m wysokości.

168 Liczba 13  Wielki kompozytor niemiecki Richard Wagner w imieniu i nazwisku ma łącznie 13 liter. Urodził się w roku Suma cyfr liczby 1813 wynosi 13. Skomponował 13 wielkich utworów., z których największy "Tannhauser" ukończył 13 kwietnia 1845 roku, a którego pierwsze wykonanie odbyło się dopiero w 1861, 13 marca. Inną operę, "Parsifal", ukończył 13 stycznia 1882 roku. "Lohengrin" powstał w 1848 roku, ale kompozytor usłyszał i zobaczył go po raz pierwszy na scenie dopiero w 13 lat później. Zmarł 13 lutego 1883 roku. Triskaidekafobia - lęk przed liczbą 13.

169 Znaczenie liczby 666 można znaleźć w Biblii. Objawienie św
Znaczenie liczby 666 można znaleźć w Biblii Objawienie św. Jana, XIII, 18. W trzecim tomie "Wojny i pokoju" Tołstoj opisuje, jak z wyrażenia "L`Empereur Napoléon" można otrzymać liczbę 666. W czasach reformacji zauważono, że gdy w tytule papieskim VICARIVS FILII DEI dodamy te litery, które mają znaczenie cyfr rzymskich, to otrzymamy : V+I+C+I+V+I+L+I+I+D+I=666. Można też zauważyć, że 666 jest sumą pierwszych sześciu cyfr rzymskich: D+C+L+X+V+I = 666. 666 odkrywano w nazwiskach wielu polityków XIX i XX wieku, między innymi: Gladstone`a, Bicmrcka, d`Estainga. Liczba 666 jest sumą wszystkich liczb ruletki: LICZBA 666

170 I jak tu nie wierzyć w magię liczb?

171 Dziękujemy za uwagę…

172 biblografia Śladami Pitagorasa – Szczepan Jeleński
Ścieżki matematyki – Nigel Langdon i Charles Snape Przez rozrywkę do wiedzy – Stanisław Kowol Księga liczb – John Conway i Richard Guy Liczby i algorytmy – Krystyna Dałek Synchroniczno%C5%9B%C4%87-nowa-wizja-przyrody i wiele innych

173