Materiały pochodzą z Platformy Edukacyjnej Portalu

Prezentacja na temat: "Materiały pochodzą z Platformy Edukacyjnej Portalu"— Zapis prezentacji:

1 Materiały pochodzą z Platformy Edukacyjnej Portalu www.szkolnictwo.pl
Wszelkie treści i zasoby edukacyjne publikowane na łamach Portalu mogą być wykorzystywane przez jego Użytkowników wyłącznie w zakresie własnego użytku osobistego oraz do użytku w szkołach podczas zajęć dydaktycznych. Kopiowanie, wprowadzanie zmian, przesyłanie, publiczne odtwarzanie i wszelkie wykorzystywanie tych treści do celów komercyjnych jest niedozwolone. Plik można dowolnie modernizować na potrzeby własne oraz do wykorzystania w szkołach podczas zajęć dydaktycznych.

2 „Żadne drzewo nie rośnie bez korzeni, podobnie i ludzie więdną bez rozsądku.”
Tales z Miletu

3 TWIERDZENIE O PROSTYCH PRZECINAJĄCYCH SIĘ PRZECIĘTYCH PROSTYMI RÓWNOLEGŁYMI. TWIERDZENIE ODWROTNE DO TWIERDZENIA TALESA. Oba twierdzenia wymienione w temacie tej lekcji wynikają bezpośrednio z twierdzenia Talesa. Pierwsze z nich obrazuje trochę inne, ogólniejsze podejście do twierdzenia Talesa a drugie, jak mówi sama nazwa, jest twierdzeniem do niego odwrotnym.

4 TWIERDZENIE O PROSTYCH PRZECINAJĄCYCH SIĘ PRZECIĘTYCH PROSTYMI RÓWNOLEGŁYMI.
Jeżeli dwie proste przecinające się przecięte są prostymi równoległymi, to odcinki wyznaczone na jednej prostej są proporcjonalne do odpowiednich odcinków na drugiej prostej.

5 PRZYKŁADY. PRZYKŁAD 1. Oblicz długość odcinka oznaczoną jako x.
Na podstawie twierdzenia o prostych przecinających się przeciętych prostymi równoległymi układamy proporcje i rozwiązujemy ją. 2 ∙ x = 3 ∙ 4 2x = 12 |: 2 x = 6

6 PRZYKŁADY. PRZYKŁAD 2. Oblicz długość odcinka oznaczoną jako x.
Układamy i rozwiązujemy odpowiednią proporcję: 15 ∙ x = 60 ∙ 12 15x = 720 | :15 x = 48

7 TWIERDZENIE ODWROTNE DO TWIERDZENIA TALESA.
Jeżeli ramiona kąta przetniemy dwiema prostymi i odcinki wyznaczone przez te proste na jednym ramieniu kąta są proporcjonalne do odpowiednich odcinków na drugim ramieniu, to proste te są równoległe.

8 PRZYKŁADY. PRZYKŁAD 1. Czy proste k i l są równoległe?
Sprawdzamy czy odpowiednie odcinki są proporcjonalne. A więc proste k i l są równoległe.

9 PRZYKŁADY. PRZYKŁAD 2. Czy proste k, l i m są równoległe?
Sprawdzamy czy odpowiednie odcinki są proporcjonalne. Pierwszy ułamek wystarczy skrócić przez 2 a drugi rozszerzyć przez 2 aby otrzymać ostatni ułamek, a więc proste k, l i m są równoległe.

10 PRZYKŁADOWE ZADANIA. ZADANIE 1.
Oblicz x i y jeżeli wiadomo, że x + y = 27. Należy zbudować odpowiedni układ równań. Pierwsze równanie już mamy: x + y = 27. Drugie równanie otrzymamy z proporcji: 8y = 10x

11 PRZYKŁADOWE ZADANIA. ZADANIE 1 – ciąg dalszy. Otrzymujemy układ równań, który rozwiązujemy metodą przeciwnych współczynników. 18y = 270 |: 18 y = 15 x + 15 = 27 x = 27 – 15 x = 12

12 PRZYKŁADOWE ZADANIA. ZADANIE 2. Korzystając z twierdzenia odwrotnego do twierdzenia Talesa uzasadnij, że dla dowolnego trójkąta ABC odcinek łączący środki boków AC i BC jest równoległy do boku AB. Uzasadnij, że odcinek ten jest dwa razy krótszy od boku AB. Zaczniemy od wykonania rysunku przedstawiającego sytuację z zadania.

13 PRZYKŁADOWE ZADANIA. ZADANIE 2 – ciąg dalszy. Mamy: |AD| = |DC| = 0,5|AC|, |BE| = |EC| = 0,5|BC|, a więc: - na mocy twierdzenia odwrotnego do twierdzenia Talesa odcinki AB i DE są równoległe.

14 PRZYKŁADOWE ZADANIA. ZADANIE 2 – ciąg dalszy. Udowodniliśmy już, że odcinki DE i AB są równoległe, możemy więc teraz skorzystać z twierdzenia Talesa. |DC| = 0,5|AC| Z twierdzenia Talesa wynika proporcja: 0,5|AB||AC| = |DE||AC| /: |AC| 0,5|AB| = |DE| - długość odcinka DE jest równa połowie odcinka AB.

15 PRZYKŁADOWE ZADANIA. ZADANIE 3. Wykaż, że odcinki łączące środki kolejnych boków dowolnego czworokąta tworzą równoległobok. Zaczynamy od rysunku: Na rysunku zaznaczyliśmy przerywanymi liniami przekątne czworokąta ABCD. Przyjrzyjmy się trójkątom ABD i BCD. Spełniają one warunki poprzedniego zadania a więc możemy skorzystać z jego wyników.

16 PRZYKŁADOWE ZADANIA. ZADANIE 3 – ciąg dalszy. W oparciu o zadanie 2 stwierdzamy, że odcinek EF jest równoległy do odcinka BD i ma długość 0,5|BD|. Analogicznie odcinek GH jest równoległy do odcinka BD i ma długość 0,5|BD|. Skoro odcinki EF i GH są równoległe do tego samego odcinka (BD) są też równoległe do siebie, mają także jednakową długość (0,5 |BD|). Powtarzając rozumowanie dla trójkątów ABC i ACD udowadniamy, że czworokąt EFGH jest równoległobokiem.

17 TWIERDZENIE O ODCINKU ŁĄCZĄCYM ŚRODKI BOKÓW TRÓJKĄTA.
Zadanie 2, to tak naprawdę dowód twierdzenia, które możemy sformułować następująco: Odcinek łączący środki dwóch boków trójkąta jest równoległy do trzeciego boku, a jego długość jest równa połowie długości tego boku. |DE| = 0,5|AB|

18 TWIERDZENIE O LINI ŚRODKOWEJ TRAPEZU.
Dowód tego twierdzenia jest podobny do dowodu twierdzenia poprzedniego - spróbuj udowodnić je samodzielnie. Odcinek łączący środki boków AD i BC trapezu ABCD (AB || CD) jest równoległy do podstaw i jego długość jest równa połowie sumy długości podstaw. |EF| = 0,5(|AB| + |CD|)