co to takiego ? Prawda, na lekcjach matematyki. Dowodzenie twierdzeń

Prezentacja na temat: "co to takiego ? Prawda, na lekcjach matematyki. Dowodzenie twierdzeń"— Zapis prezentacji:

1 co to takiego ? Prawda, na lekcjach matematyki. Dowodzenie twierdzeń
Postaraj się przewidzieć co pojawi się w następnym polu tekstowym.

2 W pierwszej prezentacji z logiki definiując zdanie logiczne,
stwierdziliśmy, że ma ono mieć ocenę prawdy lub fałszu. Ale co to jest prawda ? Problem zdefiniowania prawdy trapił filozofów od starożytności. Arystoteles, tak próbował przybliżać istotę prawdy. Powiedzieć o tym, co jest, że jest, jest prawdą, powiedzieć, że istnieje, o czymś, czego nie ma jest fałszem. Platon wprowadza dwie strefy, warstwy rzeczywistości : świat idei i świat rzeczy. Prawda – według Platona – jest ideą, I jako taka należy do pierwszego świata czyli jest bytem absolutnym. Przez całe wieki filozofowie nie potrafili znaleźć definicji prawdy, która z jednej strony byłaby formalnie poprawna ( nie prowadziłaby do sprzeczności ), a z drugiej adekwatna czyli bliska nieścisłemu, potocznemu rozumieniu słowa prawda.

3 Jedna z takich prób została przedstawiona
w XX w. przez polskiego logika Alfreda Tarskiego, Tarski jest autorem dwóch teorii prawdy: syntaktycznej i  semantycznej. Teoria syntaktyczna jest mniej znana i  jej rozwój i  praktyczne konsekwencje nie były przedmiotem zainteresowania wielu badaczy. Semantyczna teoria prawdy Tarskiego często bywa opisywana jako wersja klasycznej definicji prawdy. Główną tezą, którą uzasadnia i  rozwija tam polski logik, jest stwierdzenie, że nie da się zbudować poprawnej definicji zdania prawdziwego dla języka potocznego. Prawda – według klasycznej definicji właściwość sądów polegająca na ich zgodności z faktycznym stanem rzeczy, których dotyczą. W potocznym rozumieniu jest to stwierdzenie w formie zdania oznajmującego, wyrażone o określonym fakcie, tak jest, bo miało to miejsce w rzeczywistości.

4 Jednym z problemów z jakimi
„ zgodność myśli z rzeczywistością ” nie radzi sobie, są tzw. antynomie ( sprzeczności ). Przykładami takich antynomii są np. zdania oznajmujące : „ Ja teraz kłamię. ”, „ To zdanie nie istnieje ”. Rozszerzoną i najlepiej znaną wersją antynomii jest wypowiedź Kreteńczyka, który mówi, że „ wszyscy Kreteńczycy kłamią ”, chcąc tym samym powiedzieć, że on ( Kreteńczyk ) nie. Ta wypowiedź Kreteńczyka ma nazwę pieniaczenia, wszak tego nie może wiedzieć skoro nie sprawdził. Prawdy nie zna, więc nie kłamie, choć jest Kreteńczykiem. Zostawmy filozofię na przyszłość i zajmijmy się matematyką. Trzeba zdawać sobie sprawę, że w matematyce nie operujemy językiem potocznym, tylko matematycznym, który podlega ścisłym rygorom logicznym. Stąd aby podkreślić, że coś jest niepodważalne, mówimy, ze to jest tak pewne, jak 2 + 2 = 4.

5 Często przy definiowaniu pewnych pojęć na poziomie liceum,
podkreślam, ze mieliśmy z nimi do czynienia już w szkole podstawowej ( relacja, funkcja nawet dwu zmiennych, ciąg liczbowy, a w gimnazjum również macierz, itd. ). Pisząc, „ zawsze = 4 ”, przypomniałem sobie, że zaoponowaliby uczniowie II – giej klasy szkoły podstawowej sprzed pół wieku temu ( gdy do polskiej szkoły z inicjatywy prof. Z. Krygowskiej wdrażano tzw. nową matematykę ) i powinni to samo uczynić uczniowie klas informatycznych. Dlaczego ? O tym pod koniec prezentacji. Ponieważ język matematyki jest sformalizowany, wypowiedzi na lekcji matematyki na poziomie liceum, muszą różnić się od zdań wypowiadanych lekcji języka polskiego ( na dziwaczne pytanie : „ co autor miał na myśli ”, można puszczać wodze fantazji i mówić o rzeczach, o których autor, nie tylko nie myślał ale by się od nich odżegnywał ).

6 Nauczyciel matematyki winien systematycznie, uświadamiać,
że na lekcji matematyki trzeba być odpowiedzialny za każde wypowiedziane słowo. Każde słowo, każdy termin, każde pojęcie, które wypowiadamy na lekcji matematyki a szczególnie w liceum, musi być jednoznacznie zrozumiałe, jednoznacznie określone. Warto by uczniowie wiedzieli, że rola miejsca postawienia przecinka w zdaniu kodeksu karnego, jest na tyle ważna, że „ przecinek trafił ” do Trybunału Konstytucyjnego ( źle to świadczy o tych, którzy ustanawiają prawo ). Innym razem społeczeństwo bulwersowała afera polityczna ufundowana przez Sejm, który uchwalił Ustawę w której nieprawidłowo użyto spójnika „ lub ”. Wróćmy do codziennych szkolnych lekcji matematyki, podczas których, formułujemy i wypowiadamy definicje, powołujemy się na twierdzenia i rozwiązujemy równania. Definicja -- umowa -- określenie W matematyce szkolnej. definicja, to zrozumiałe objaśnienie znaczenia określonego terminu, pojęcia.

7 W matematyce rozpatrujemy różne typy definicji, np.
analityczne ( sprawozdawcze ), syntetyczne ( projektujące ), regulujące ( modyfikujące, uściślające ). indukcyjne ( rekurencyjne ), operacyjne ( czynnościowe ). aksjomatyczne ( podanie postulatów ) i inne. Ponieważ nas interesuje nie teoria, lecz dydaktyczne i praktyczne definiowania pojęć matematycznych, nie będziemy omawiać tych rodzajów definicji, choć w szkolnej matematyce niektóre z nich występują. Najprostsze szkolne definicje łatwo rozpoznać po tym, że na ogół występują w nich słowa : „ nazywamy ” lub „ jest to ” lub „ to znaczy ”, itp. Aby definicja, umowa była poprawna, użyte w nim słowa muszą być zrozumiałe dla uczniów, wyjaśnione „ prawie precyzyjne ”. Zwroty „ zrozumiałe dla uczniów ”, „ prawie precyzyjne ”, są istotne, gdyż realizacja tych postulatów jest zależna od tego, na jakim poziomie edukacji dane pojęcie omawiamy.

8 Omówmy trzy przykłady definicji :
dzielenie liczb, prostopadłość prostych, funkcji. Co to znaczy podzielić jedna liczbę przez druga ? Ucznia szkoły podstawowej a nawet gimnazjum uznałbym za orientującego się arytmetyce, gdyby odpowiedział : „ znaleźć liczbę, która pomnożona przez drugą da na wynik pierwszą ”. Niestety, bywa, że licealista nawet tej odpowiedzi nie udzieli, a gdy „ zmuszony ” do wyjaśnienia, dlaczego 12 : 4 = 3 wypowie co wyżej, i dziwi się, gdy usłyszy, źle. Pomimo, że w liceum na pierwszych lekcjach matematyki uczył się logiki i o roli kwantyfikatorów ( istnienie elementu ) mimo, że od przedszkola wie, że = tylko i wyłącznie 4 ( jednoznaczność operacji ), licealista nie jest świadom, że w definicjach, te elementy muszą być wyartykułowane. Czy taki licealista wie, co to znaczy podzielić wektor przez liczbę, wielomiany, funkcje , itd..

9 Zatem podzielić jedną liczbę przez drugą, tzn. „ znaleźć liczbę, o ile istnieje ( 2 : 0 brak liczby, nie istnieje ) i tylko jedna ( 0 : 0 każda liczba mogłaby być wynikiem ), która pomnożona przez drugą, da na wynik pierwszą ”. Wniosek z definicji : dzielenie przez zero jest „ niewykonalne ”. Czy tej wiedzy nie powinien posiąść licealista ? Jakie proste nazywamy prostopadłymi ? Gdy uczeń szkoły podstawowej odpowie : są to proste, które tworzą kąt prosty ( ? ), odpowiedź jest satysfakcjonująca. Uczeń ma prawo powołać się na kąt w ekierce prostokątnej, kąt prostokąta, itd. Gdy taką samą odpowiedź wypowie licealista, musi być przygotowany na pytanie „ a jaki kąt jest prosty ? ” Niestety, najczęstszą odpowiedzią jest : „ taki, który ma 90 ° ”, a na pytanie : „ jaki kąt ma 90° ?” odpowiedź jest typu „ masło maślane ” ; jest to kąt prosty .

10 Na tym kończy się wiedza wielu licealistów, nawet klasy matematycznej,
pomimo, że już gimnazjalista zna prostą definicję : proste są prostopadłe, gdy tworzą równe kąty przyległe ( kąty przyległe przy tych prostych są przystające ) Ci, którzy znają moje prezentacje wiedzą, że niekiedy i definicja kątów przyległych, nie zawsze jest poprawna. są przyległe ramię wspólne def. mają jedno ramię wspólne, Niestety, dwa pozostałe nawzajem przedłużają się ta umowa jest zła. ramię wspólne Te kąty nie chcemy nazwać przyległymi. Powinniśmy dołożyć jakiś warunek : np. są wypukłe. W liceum, nauczyciele winni mocno uświadomić uczniom, że zgodnie z często powtarzaniem moim porzekadłem ; matematyka na funkcji stoi, a geometria na przekształceniach.

11 Ks. prof. M. Heller, filozof przyrody ( tarnowianin )
w pracy „ Szczęście w przestrzeniach Banacha ” na str. 86 pisze ; świat współczesnej fizyki to świat funkcji. Stąd również proste prostopadłe, warto zdefiniować za pomocą przekształcenia ( funkcji ). Prostymi prostopadłymi nazywamy takie różne proste, gdy jedna z nich jest osią symetrii drugiej. ( czy tu musi być tam słowo różne ? ) Niedawno gdy w zeszycie ucznia klasy matematycznej zobaczyłem temat „ Przekształcenia wykresu funkcji ”, postawiłem mu trzy pytania : Co to jest przekształcenie ? Co to jest funkcja ? Co to jest wykres funkcji ? Na żadne nie uzyskałem odpowiedzi. Czy ten uczeń, wie jaka funkcja jest malejąca, parzysta, ograniczona, okresowa, kiedy funkcję można odwrócić, Itd.

12 O fundamentalnej roli pojęcia funkcji głoszę
ciągle powtarzając, że „ matematyka na funkcji stoi ”. Co to jest funkcja ? W żadnym podręczniku matematyki, nie spotkałem tak przekonującego wprowadzenia tego pojęcia, jaką podał ks. prof. M. Haller w wspomnianej pozycji „ Szczęście w przestrzeniach Banacha ”. Gimnazjalistów zapraszam Stefan Banach (1892 – 1942 ) do mojej prezentacji @ Wprowadzenie pojęcia funkcji @ Przypominając z tej prezentacji definicję funkcji Funkcją nazywamy przyporządkowanie według którego, każdemu elementowi pierwszego zbioru przyporządkowany jest dokładnie jeden element drugiego zbioru . podkreślę, że tą definicję powinien znać już gimnazjalista,

13 . . > . > . . > . . . . . . . . . . . . . . . > > >
Nic nie stoi na przeszkodzie, by gimnazjalista, a tym bardziej licealista, miał mocne przekonanie że w matematyce mało nas interesują przyporządkowania > . . . > typu . b . a ważne są takie b a a c > jednoznaczne > . > . . oraz . . nie interesują nas . > . > nawet tylko takie . . . > . takie ? . > . . . > grzeczne, miłe dla oka każdemu tylko jeden Przypomniana definicja jest poprawna dla przeciętnych uczniów, bo dociekliwi ( a chcielibyśmy takich uczyć ) zgodnie z tym co zażądaliśmy od definicji zapytają, a co to jest przyporządkowanie ? jako, że nie jest termin matematyczny. Wprawdzie wprowadzając do definicji funkcji słowo przyporządkowany , staraliśmy się by uczeń poprawnie go rozumiał, przedstawiając za pomocą grafu

14 ( jak wcześniej pokazano )
i zastępując ten termin takimi synonimami jak ; przypisany, odpowiadający, przynależny, itd. Zatem, rzeczywiście pojęcie „ przyporządkowany ”, nie jest określone matematycznie i na poziomie liceum, a szczególnie w klasie matematycznej, można je zdefiniować, ponieważ znamy już wszystkie pojęcia do tego potrzebne, jak : iloczyn kartezjański zbiorów, relacja i własności relacji. Niech f ⊆ X × Y Mówimy, że f jest funkcją X w Y i piszemy f : X → Y, gdy dla każdego x ∈ X istnieje dokładnie jeden y ∈ Y taki, że x f y. Ten jedyny element y nazywamy wartością funkcji f dla argumentu x i oznaczamy y = f ( x ).

15 Symbole są różnymi zapisami tego samego faktu. Warunek jednoznaczności zapisać następująco W matematyce często termin funkcja zastępujemy słowem odwzorowanie. Zatrzymałem się przy tych trzech definicjach by pokazać, że przy prawie każdej tworzonej definicji – umowie, warto i należy wręcz podyskutować, aby trakcie rozpatrywania różnych pomysłów, wybrać najlepszy i że jest on zależny od poziomu edukacji. Uczniowie, niedostatecznie mobilizowani przez nauczycieli, często, nie uważają za konieczne uczyć się definicji. Niedawno w rozmowie z panią informatyk, kiedy mówiła że jest na studiach doktoranckich, wypowiedziała zdanie ; w szkole nie uczyłam się definicji.

16 Wtedy tego nie skomentowałem, choć jestem zdania,
że uczono jej rachunków, mówiąc językiem informatyki algorytmów ( zrób to i to ), a nie matematyki. Czy można uznać za prawnika osobę, która nie zna kodeksu cywilnego i karnego, za medyka, skoro nie zna jednostek chorobowych ? Retoryczne pytania. Matematyk tez musi znać definicje. Diabeł tkwi w definicjach i założeniach. Nie mogę wyobrazić sobie lekcji matematyki, ( chociaż przykładów jest niemało ) na której nie padają pytania : dlaczego ? na jakiej podstawie ? W tym momencie, należy powołać się na twierdzenia. które winniśmy wypowiadać w postaci : jeżeli ……………………… , to …..………………….. . założenie teza ( wniosek ) W praktyce szkolnej, twierdzenia bardzo często wypowiadamy w skrótowej postaci, np.

17 iloczyn pierwiastków jest równy
pierwiastkowi z iloczynu granica sumy ciągów jest równa sumie ich granic nie dbając o założenia, Taka forma wypowiedzi twierdzeń jest wygodna i dopuszczalna wtedy, gdy stosujący to twierdzenie, potrafi podać jego założenie. W matematyce zdanie wyrażone w postaci : jeżeli ……………………… , to …..………………….. . jest twierdzeniem, gdy go udowodnimy, zgodnie z regułami logiki. Oczywiście, tak jak jest kilka rodzajów definicji, również i sposobów dowodzenia jest niemało. Teorię dowodzenia pozostawmy nielicznym, którzy na studiach, będą tymi problemami zajmować się, a w tej prezentacji przybliżmy te z którymi spotykamy się na lekcjach matematyki w szkole średniej. W praktyce szkolnej, dowodziliśmy twierdzenia kilkoma sposobami.

18 ** 1. Twierdzenie : Możemy wyróżnić dowody : wprost ( dedukcyjny ),
nie wprost ( apagogiczny ), indukcyjny ( wykorzystujący zasadę indukcji matematycznej ) konstruktywny ( niekonstruktywny ), geometryczny, redukcyjny, automatyczny, analityczny ( metoda geometrii analitycznej ). Wypisując te sposoby, zdziwiłem się, że. jest ich tyle w praktyce szkolnej, a w teorii jest ich więcej. Przypomnijmy znane dowody kilku twierdzeń. 1. Twierdzenie : Kąty wierzchołkowe są równe. kąty wierzchołkowe Takie uzasadnienie nazywamy ** dowodem wprost ( dedukcyjnym ). Wiedząc, ze wszystkie założenia - czyli poprzednik implikacji jest prawdziwy - rozumujemy do momentu gdy stwierdzimy, że teza - następnik ma ocenę prawdy.

19 2. Twierdzenie : 3/2m 3/2 3/m 6/k 3. Twierdzenie :
W dowodzie wprost często wykorzystujemy, m. in prawo przechodniości implikacji jak i prawo odrywania 2. Twierdzenie : Jeśli liczba parzysta k dzieli się przez 3, to liczba k dzieli się przez 6. Dowód : 3/2m 3/2 3/m 6/k Sposób uzasadnienia jak poprzedni, choć bardziej rozbudowany. 3. Twierdzenie : Wykazać, że są liczbami niewymiernymi.

20 ** Mam nadzieję, że gimnazjaliści dowodzili, że a licealiści, że
są liczbami niewymiernymi. W życiu codziennym, stosujemy rozważania typu „ co by było gdyby ”. Na lekcji matematyki postępujemy w ten sposób, gdy przeprowadzamy dowód metodą „ nie wprost ”. Hipoteza ( przypuszczenie ) : jest liczbą wymierną, czyli Wykorzystując twierdzenia arytmetyki dochodzimy do wniosku, że ułamek da się skrócić przez 2, co jest sprzeczne z hipotezą. ** Dowód nie wprost ( łac. reductio ad absurdum ) sprowadzenie do niedorzeczności. Polega on na rozumowaniu przez sprzeczność, tzn. do prawdziwych założeń dołączamy zaprzeczenie tezy, co doprowadza do sprzeczności z założeniem lub jakimś twierdzeniem.

21 Metodę dowodu „ nie wprost ” w prostym przypadku
uzasadnia tautologia rachunku zdań, zwana prawem kontrapozycji zaś w ogólniejszych przypadkach należałoby, powołać się na tautologię Dowód nie wprost chętnie stosował już Sokrates, jako część metody sokratycznej. Ponieważ dowód nie wprost jest często łatwiejszy do przeprowadzenia niż dowód wprost. ( wyprowadzający tezę z założeń ) ; stąd praktyczna rada, że gdy nie wiemy jak dowieść danego twierdzenia, warto spróbować dowodzenia nie wprost. W literaturze matematycznej klasycznym przykładem dowodu nie wprost, jest dowód Euklidesa ( IV w.p.n.e. ) na istnienie nieskończenie wielu liczb pierwszych.

22 Przypomnijmy ten dowód dlatego, że niestety
bywa czasem podawany z błędem. Hipoteza : liczb pierwszych jest skończona ilość ( tj. takich liczb, które mają dokładnie dwa podzielniki : 2 , 3 , 5 , 7 , 11 , 13 , 17 , ,..., , k. Niech k będzie największą liczbą pierwszą. Tworzymy iloczyn : m = 2 · 3 · 5 · 7 · 11 · 13 · 17 · · k wszystkich liczb pierwszych. Liczba m + 1 nie dzieli się bez reszty przez żadną z liczb pierwszych 2 , 3 , 5 , 7 , 11 , 13 , 17 , ,. . . , k. Nadto, m + 1 jest większa od k. Czy m + 1 jest liczbą pierwszą ? W wielu internetowych dowodach odpowiedź jest twierdząca, choć wprawdzie = 31 jest liczba pierwszą, ale, np. = 30031 = nie. Stąd, gdy m + 1 jest liczbą pierwszą, to znaleźliśmy liczbę pierwszą, która nie należy do określonego zbioru.

23 Gdy m + 1 nie jest liczbą pierwszą,
to z Podstawowego Twierdzenia Arytmetyki Każda liczba naturalna większa od 1, jest liczbą pierwszą lub iloczynem liczb pierwszych i dzielnik liczby m + 1, który jest liczba pierwszą, większą od k, nie należy do określonego na wstępie zbioru, co jest sprzeczne z założeniem, że w tym zbiorze były wszystkie liczby pierwsze. Zatem, musimy odrzucić przypuszczenie, iż liczb pierwszych jest skończona ilość. W konsekwencji, nie istnieje największa liczba pierwsza, oraz liczb pierwszych jest nieskończenie wiele. Na lekcjach fizyki, chemii , gdy jest potrzeba wykonywania różnych pomiarów , np. wyznaczania długości, ważenia ciała. itd. spotykaliśmy się ze średnią arytmetyczną.

24 4. Twierdzenie : Przypomnijmy, że średnia arytmetyczną dwu liczb a , b
nazywamy liczbę Na lekcji matematyki poznaliśmy średnią geometryczną Porównując średnie dla liczb , np. 2 , 8 lub 3 ,12 podejrzewamy, że zachodzi 4. Twierdzenie : Jak to wykazać ? Rozumowania dedukcyjne ( w którym kierunek rozumowania jest zgodny z kierunkiem wynikania ), chyba odpada ( nie widać zależności wynikania ). Spróbujmy więc dowodu nie wprost. Hipoteza : Mamy punkt zaczepienia. fałsz Hipoteza fałszywa, Twierdzenie zachodzi.

25 Udowodniliśmy twierdzenie , mamy satysfakcję, ale może
mamy jakąś refleksję i pomysł na inny sposób dowodu. Patrząc na dowód, można zapytać czy nie za szybko zrezygnowaliśmy z dedukcji ? Spójrzmy na implikacje prawda Czy udowodniliśmy twierdzenie ? Zwróćmy uwagę, że nie wiedzieliśmy czy założenie jest prawdziwe. Niestety, w wielu zeszytach dowód jest zakończony. Ale sądzę, że wielu uczniów czuje pewne niedomówienie, ze czegoś tu brakuje. Brakuje uzasadnienia logicznego. następnik jest prawdziwy implikacja jest prawdziwa Z oceny logicznej implikacji, poprzednik musi być prawdziwy.

26 ** Takie uzasadnianie zwane rozumowaniem redukcyjnym
( wnioskowaniem w tył ) zostało wyróżnione przez Jana Łukasiewicza. Dowód redukcyjny ma postać: Jeżeli prawdziwe i prawdziwe to p prawdziwe Jan Łukasiewicz ( 1878 – 1956 ) W przeciwieństwie do rozumowania dedukcyjnego sposób dowodzenia redukcyjnego może być zawodne, możliwa jest bowiem sytuacja, że prawdziwe następstwo prowadzi do fałszywej racji ( implikacja ; z fałszu wynika fałsz, jest prawdziwa ). Wnioskowanie redukcyjne jest wnioskowaniem uprawdopodobniającym daną tezę, pełni doniosłą rolę w procesie stawiania hipotez, jest podstawą empirycznych nauk przyrodniczych czy nauk historycznych.

27 Udowodniliśmy to twierdzenie, na dwa sposoby.
Jak wykazalibyście tą nierówność, gdybyście mieli propozycję zaprezentowania dowodu na lekcji. Warto jeszcze raz prześledziić te dowody. Wskazówka : iść inną drogą. Oczywiste jest, że to jest prawdą. Stąd Prawda, że proste, dedukcyjne uzasadnienie. O co pytaliby koledzy śledzący ten dowód ? Skąd wiedziałeś, że należy wyjść od nierówności Nie warto wciskać kolegom ; „ bo jestem taki mądry ”, tylko zdradzić, „ trochę pogłówkowałem ”.

28 To doświadczenie jest również ciekawe dlatego,
że studiując dowody, uzasadnień odkryć naukowych, chyba każdy zastanawia się, skąd oni mieli takie genialne pomysły. Odpowiedź jest prozaiczna ; znamy tylko efekt długiej, mozolnej, często tytanicznej pracy i czasem szczęścia. Zasygnalizujmy jeszcze krótko następne sposoby dowodzenia z jakimi spotkaliśmy się, lub spotkamy w nauce szkolnej. Dowód indukcyjny. Aby udowodnić, że zdanie p( n ) jest prawdziwe dla wszystkich liczb naturalnych n, gdzie n ≥ n0 wystarczy pokazać, że ( i ) zdanie p( n0 ) jest prawdziwe, ( ii ) dla każdego k ≥ n 0 , p( k ) ⇒ p( k+1 ), tzn. zdanie p ( k+1 ) jest prawdziwe

29 Mam nadzieję, że ci, którzy uczyli się o ciągu,
arytmetycznym, geometrycznym, Fibonacciego dowodzili ich własności korzystając z zasady indukcji matematycznej. Zwykle dowody indukcyjne stosowane są w dziedzinach blisko związanych z teorią liczb naturalnych , nie brak jednak dowodów indukcyjnych w innych dziedzinach matematyki. W szkolnym programie okazji do dowodów tego typu, jest kilka, np. przy uzasadnieniu wzorów nierówności cech podzielności itd. W tej prezentacji powoływałem się na tautologię Jak ją dowodziliśmy ?

30 Jak ją dowodziliśmy ? Automatycznie, za pomocą matrycy, metodą zero – jedynkową. Zawsze prawda Schemat jest tautologią Rachunek zdań jest rozstrzygalny, więc teoretycznie istnieje algorytm pozwalający dla dowolnej formuły rachunku zdań w skończonej liczbie kroków rozstrzygnąć czy jest ona twierdzeniem tego rachunku. ** Automatyczne dowodzenie twierdzeń jest dziedziną wiedzy, której celem jest konstruowanie programów komputerowych umożliwiających dowodzenie twierdzeń w teoriach, w których zostały sformułowane.

31 Gdy uczeń zobaczy to nawet gdy nie ma żadnego komentarza, wie, że to równanie należy rozwiązać. Na ogół licealista wie co ma zrobić. Indagowany, „ co robi ? ” odpowiada ; tabelkę Hornera. Wtedy pytam ; co pomyślisz o mechaniku samochodowym, gdy na pytanie, jak naprawi samochód ? ; powie ; podnośnik. Tak jak dla mechanika, podnośnik jest narzędziem, przy pomocy którego zdiagnozuje usterkę, tak tabelka Hornera jest narzędziem pozwalającym obliczyć wartość wielomianu ( i nie tylko ), o czym maturzyści , nie maja pojęcia. Wróćmy do równania Możemy postawić zadanie : Wykaż, że powyższe równanie ma pierwiastek wymierny. Zadanie sformułowałem tak, by uświadomić, że mamy udowodnić twierdzenie. Mam nadzieję, że każdy licealista wskaże liczbę

32 Wykazać, że powyższe równanie ma pierwiastek wymierny.
Chyba każdy licealista wskaże liczbę Dowód konstruktywny Dowód twierdzenia o istnieniu obiektu określa się jako konstruktywny, jeżeli podaje on gotowy algorytm do wyznaczenia poszukiwanego obiektu, o którego istnieniu mówi dane twierdzenie. Pierwiastkiem równania jest Czy powyższy schemat jest dowodem konstruktywnym ? Dla mnie, nauczyciela matematyki, nie. Powyższy zapis przypomina mi, występ magika, który robi „ hokus pokus ” i wyciąga królika z kapelusza. Pokazane „ rozwiązanie ”, byłoby dowodem konstruktywnym, gdyby licealista, choć słownie, potrafiłby skomentować, jakie twierdzenia wykorzystał.

33 Niestety, wielu maturzystów, nie zna twierdzeń
o pierwiastku całkowitym, wymiernym wielomianu, a do czego służy tabelka Hornera, nie ma pojęcia. Licealista , który rozwiąże omawiane równanie, dziwi się gdy słyszy, że to równanie potrafi rozwiązać gimnazjalista Tenże sam maturzysta, nie umie uzasadnić, że równanie ma pierwiastek niewymierny i jest zdziwiony, że nie potrafi go znaleźć. W szkolnej edukacji, sytuacji, gdzie należy zastosować dowodów konstruktywnych jest nie mało, np. przy rozwiązywaniu układów równań liniowych. W praktyce szkolnej, pod koniec działu o rozwiązywaniu układu równań, profesor(ka) oznajmia uczniom, że jest prostszy sposób rozwiązywania układu równań i jak magik pokazuje sztuczkę.

34 ** Niestety, tak wygląda rzeczywista nauka matematyki,
która z matematyką nie ma nic wspólnego. Gdy na koniec wspomnę, że są dowody geometryczne, nikogo to nie zdziwi. ** Dowód geometryczny polega na wykorzystaniu metod geometrii, takich jak przystawanie i podobieństwo figur. Wszyscy widzieliśmy przynajmniej kilka geometrycznych dowodów twierdzenia Pitagorasa ( jest ich kilkadziesiąt , oto jeden z nich ). Ale dowody geometryczne mogą być wykorzystywane poza geometrią. Prostymi dowodami geometrycznymi są znane z algebry wzory skróconego mnożenia, np.

35 W tej prezentacji mówiliśmy o dowodzeniu nie wprost,
faktu, że jest liczbą niewymierną. Zainteresowanym polecam zapoznanie się z geometrycznym dowodem niewymierności Na koniec prezentacji o twierdzeniach zapytajmy o zależnościach między niektórymi z nich. Z implikacji przestawiając poprzednik z następnikiem i negując, otrzymamy dalsze implikacje, np. i dalsze.

36 Gdy przyjrzymy się tym implikacjom,
to mam nadzieję, że zobaczycie znaną zależność ( przypomnianą w tej prezentacji ) nazwaną prawem transpozycji. Szukając dalszych zależności stwierdzimy, że tylko niektóre z tych implikacji są na tyle ciekawe, by je uwzględnić w pewnej konfiguracji ( jakiej ? ): Znamy już implikacje równoważne Kwadrat logiczny ============ ============ Pozostałe pary implikacji warto jakoś nazwać odwrotne przeciwne Implikacje przeciwstawne są równoważne. przeciwstawne

37 Zapraszam Koniec prezentacji Winien jestem odpowiedzi na pytanie,
czy zawsze = 4 . Tak jak wspomniałem, ćwierć wieku temu uczniowie II – giej kl. szkoły podstawowej podaliby wynik 11, bo znali system trójkowy. A uczniowie klas informatycznych, powinni wiedzieć, że 2 + 2 = 10 w systemie czwórkowym. Zainteresowanych zapraszam do prezentacji : @ Czy = 3 ? @ , @ Kiedy = 11 , 5 ∙ 5 = 35 ? @ . Zapraszam Opr. WWWęgrzyn i-lo. tarnów. Bardzo proszę o krytyczne przeanalizowanie prezentacji i przekazanie uwag, by po korekcie, można było ją uznać za poprawną. Z góry dziękuję. tel op.pl Koniec prezentacji