ODKRYWANIE GEOMETRII KÓŁ

Prezentacja na temat: "ODKRYWANIE GEOMETRII KÓŁ"— Zapis prezentacji:

1 ODKRYWANIE GEOMETRII KÓŁ
Agnieszka Rogalska

2 ODKRYWANIE GEOMETRII KÓŁ Bronisław Pabich Agnieszka Rogalska

3 LEKCJA 1 KĄTY W KOLE

4 Koło i kąty w kole Koło jest jednym z ważniejszych wynalazków w historii ludzkości. Poza jego fizycznymi i mechanicznymi zastosowaniami jest niezwykle ważny również w matematyce. Jest to figura, która przy minimalnym obwodzie ma 44 największą objętość, ale nie można nią wypełnić płaszczyzny, tak jak np. sześciokątami foremnymi. Punkt koła toczącego się po prostej zatacza pewną krzywą zwaną cykloidą. Ale aby badać takie problemy z kołem, trzeba wcześniej poznać kilka podstawowych własności koła i okręgu. Kilka najbliższych slajdów wprowadzi Cię w krainę twierdzeń, z których niektóre poznałeś już w gimnazjum, inne będą ich dalszą kontynuacją. Opis ruchu koła, a jest nim najczęściej obrót, związany jest ze zmianą kąta, jaki zatacza wokół środka okręgu dowolny punkt tego okręgu. Dlatego też ważnymi pojęciami są dwa kąty w kole: kąt środkowy i kąt wpisany. Kąt środkowy to kąt, którego wierzchołek znajduje się w środku koła, zaś kąt wpisany, to ten którego wierzchołek leży na okręgu tego koła.

5 Na dowolnym okręgu o(O,r) zaznacz cztery punkty A, B, K i L.
Zajmijmy się na chwilę kątami wpisanymi. Ramiona kąta wpisanego wraz z obszarem kąta ma z okręgiem część wspólną w postaci pewnego łuku okręgu. Mówimy wówczas, że kąt wpisany oparty jest na tym łuku. Można zauważyć, że gdy kąt wpisany wzrasta, wówczas długość tego łuku również wzrasta. Na dowolnym okręgu o(O,r) zaznacz cztery punkty A, B, K i L. Zaznacz kąt KAL. Kąt ten jest kątem wpisanym w koło k(O,r) opartym na łuku KL. Zaznacz kąt KBL. Jak nazwiesz ten kąt? Odczytaj miary kątów KAL i KBL. Zmieniaj położenie jednego z punktów A lub B na okręgu i obserwuj miary zaznaczonych kątów. Jakie są te miary? Kąty wpisane w kole

6 Wykonany eksperyment pozwolił Ci zauważyć to, co już pewnie wiesz:
Kąty wpisane w kole Wykonany eksperyment pozwolił Ci zauważyć to, co już pewnie wiesz: miary kątów wpisanych opartych na tym samym łuku są takie same. Wykonajmy kolejny eksperyment w programie GeoGebra. Na dowolnym okręgu o(O,r) zaznacz sześć punktów A, B, C, K, L, i M. Zaznacz kąt BAC. Kąt ten jest oczywiście kątem wpisanym w koło k(O,r) opartym na łuku BC. Zaznacz kąt LKM. Jak nazwiesz ten kąt? Znajdź miary kątów BAC i LKM, oraz długości łuków BC i LM. Zmieniaj położenie jednego z punktów B, C, L lub M tak, by długości łuków BC i LM stały się równe. Jakie są wówczas miary kątów BAC i LKM? Chwyć myszą za wierzchołki K i A kątów i zmieniaj ich położenie na okręgu. Czy długości łuków: BC i ML zmieniają się?

7 Miary kątów wpisanych, opartych na tym samym łuku są takie same.
Miary kątów opartych na łukach o tej samej długości są również sobie równe.

8 Kąty wpisane i środkowe w kole
Teraz poszukajmy związku pomiędzy kątami wpisanymi i środkowymi. Poniższy rysunek ilustruje dwa kąty w kole k(O.r): BAC oraz BOC. Który z nich jest wpisany, a który środkowy? Na jakich łukach oparte są te kąty? Zmieniaj położenie jednego z punktów: A, B lub C tak, aby kąt wpisany był ostry lub rozwarty. Kąty wpisane i środkowe w kole

9 Kąty wpisane i środkowe w kole
Teraz zmieniaj wyłącznie położenie punktu A i odczytuj za każdym razem miarę kąta wpisanego. Ustal zależność między miarami kątów wpisanego i środkowego opartych na tym samym łuku. Sformułuj dostrzeżoną własność. Jaka jest miara kąta wpisanego opartego na półokręgu? Czy wiesz dlaczego? Sformułuj i uzasadnij odkrytą przez Ciebie własność.

10 A OTO TWIERDZENIA: DOWÓD
Miara kąta środkowego opartego na danym łuku jest dwukrotnością miary kąta wpisanego, opartego na tym samym łuku, jak również na łuku o tej samej długości. Miara kąta wpisanego, opartego na półokręgu wynosi 90º. DOWÓD

11 Kąt widzenia Poznana wiedza jest bardzo przydatna w praktyce. Wykorzystywano ją w Starożytności przy konstruowaniu amfiteatrów. Z poprzedniego problemu wiesz już, że miary kątów wpisanych w koło, opartych na tym samym łuku są równe. Wyobraź sobie salę teatralną w kształcie półkola i scenę, traktowaną geometrycznie jako cięciwę tego koła. W optyce stosuje się pojęcie tzw. kąta widzenia. Jest to kąt, którego wierzchołek zajmuje położenie obserwatora, a ramiona przechodzą przez końce oglądanego obiektu. Można powiedzieć też, że obiekt jest wpisany w kąt widzenia.

12 Kąt widzenia Poniższy rysunek ilustruje cięciwę koła sceny na arenie, którą widać z punktu leżącego na okręgu koła tej areny pod kątem 34 . Pod jakim kątem scenę tę będzie oglądał widz siedzący w innym miejscu na okręgu tej areny? Pod jakim kątem widać tę scenę ze środka areny?

13 no właśnie, pod jakim? Większym czy mniejszym?
Łuk Talesa Okazuje się, że widzowie znajdujący się w dowolnym punkcie P blisko ściany sali teatralnej widzą scenę pod tym samym kątem – np º. Zbiór punktów P, z których dany odcinek widać pod stałym kątem, tworzy łuk, nazywany łukiem Talesa. Widzowie znajdujący się bliżej środka sali widzą tę samą scenę pod kątem... no właśnie, pod jakim? Większym czy mniejszym? A gdzie znajdują się widzowie, którzy widzą scenę pod kątem o mierze 25º. Czy znajdują się oni na sali, czy muszą ją opuścić i wyjść na zewnątrz?

14 Zmatematyzujmy ten problem. Wywołaj poniższą konstrukcję GeoGebry.
Łuk Talesa Zmatematyzujmy ten problem. Wywołaj poniższą konstrukcję GeoGebry. Możesz w niej zmieniać położenie punktu P i obserwować zmianę miary kąta APB. Czy miara tego kąta może przekroczyć miarę kąta ACB? Kiedy? Dlaczego? Spróbuj znaleźć ślad jaki pozostawia punkt P w sytuacji stałej miary kąta ACB równej np. 56º. W tym celu kliknij prawym przyciskiem myszy w punkt P i uaktywnij narzędzie Ślad. Następnie poruszaj tak punktem P, by miara kąta ACB przyjmowała stałą wartość 56º. Czy dziwi Cię wynik tego eksperymentu?

15 Konstrukcja łuku Talesa
Jak skonstruować cyrklem miejsce geometryczne wszystkich punktów P, aby |APB| = const = 56º? Poniższa animacja ilustruje kolejne kroki konstrukcyjne łuku Talesa o mierze 56º.

16 Dowód poprawności konstrukcji łuku Talesa
Oto uzasadnienie poprawności opisanej konstrukcji: Ponieważ kąt APB ma mieć miarę 56º, więc kąt środkowy ASB musi mieć miarę dwukrotne większą, czyli 112º. Trójkąt ABS jest równoramienny, zaś trójkąt CBS jest prostokątny, więc miara kąta CBS wynosi 34º. Zatem konstrukcje tę należy rozpocząć od konstrukcji tego kąta.

17 Kąt widzenia obrazu Spróbujmy teraz odpowiedzieć na pytanie, dlaczego niektórzy, szczególnie starsi ludzie zwiedzający muzeum, oglądając wiszący na ścianie obraz poszukują pewnego miejsca na sali i dopiero wtedy z tego miejsca podziwiają to dzieło. Czy wiedzą, że obraz ten z pewnego punktu będzie widać pod największym kątem? Dlaczego? Zbadajmy ten problem.

18 Obejrzyj poniższą animację i zwróć uwagę na miarę kąta widzenia ekranu
Kąt widzenia obrazu Obejrzyj poniższą animację i zwróć uwagę na miarę kąta widzenia ekranu przez obserwatora w trakcie jego zbliżania się do obrazu. Zmiana miary kąta widoczna jest na wykresie.

19 Kąt widzenia obrazu Zbliżając się do obrazu zauważamy, że jest taki moment, w którym jego kąt widzenia przyjmuje największą wartość. Pojawia się pytanie, kiedy tak jest?

20 Kąt widzenia obrazu Przeprowadźmy przez oko obserwatora, dolny i górny punkt obrazu okrąg. Jak go skonstruować? Zauważmy, że jego środek musi leżeć w punkcie przecięcia symetralnej odcinka AB oraz symetralnej punktu A i punktu oka obserwatora. Oczywiście w trakcie przybliżania się obserwatora do obrazu okrąg ten będzie zmieniał swoje wymiary, ale jego środek nadal będzie leżał na symetralnej odcinka AB.

21 Kąt widzenia obrazu Przyjrzyj się uważnie poniższej animacji i zobacz, jak zachowuje się ten okrąg w momencie, gdy kąt widzenia jest największy?

22 Kąt widzenia obrazu Zauważmy że kąt widzenia obrazu to nic innego jak kąt wpisany w kole, oparty na cięciwie AB. Cięciwa wprawdzie nie zmienia swej wielkości, ale łuk zbudowany na tej cięciwie przybiera różne wielkości. Kiedy zatem kąt wpisany APB jest największy? Popatrzmy na trzy różne położenia obserwatora względem obrazu.

23 Kąt widzenia obrazu Drugie położenie na poniższych rysunkach ilustruje sytuację, w której kąt widzenia jest największy. Wówczas okrąg opisany na trójkącie ABP jest styczny do prostej poziomej przechodzącej przez oko obserwatora.

24 Zauważmy, że kąt BPA jest wtedy największy, gdy jest kątem wpisanym w czerwone koło. Gdy P leży poza tym kołem kąt widzenia jest większy, niż kąt wpisany.

25 Kąt widzenia obrazu W ten sposób zastosowaliśmy nieznane w matematyce szkolnej ciekawe twierdzenie: Jeżeli na okręgu leżą dwa punkty A i B to miara kąta APB jest zawsze mniejsza dla punktu P leżącego poza kołem, do którego należą punkty A i B, zaś największa, gdy punkt P leży na okręgu.

26 Kąt wpisany a kąt między styczną i cięciwą
Wykreśl okrąg o środku S i jego cięciwę BC. Skonstruuj styczną do okręgu w punkcie C (prostopadłą do promienia SC). Narysuj dowolny kąt wpisany BAC oparty na łuku BC. Czy kąt ten jest zawsze ostry? Styczna i cięciwa BC tworzą ze sobą dwa kąty. Zmierz jeden z nich. Dla ustalonego położenia punktów B i C zmieniaj położenie punktu A na okręgu. Odczytuj za każdym razem miarę kątów między cięciwą a styczną oraz miarę kąta BAC. Co dostrzegasz?

27 Kąt wpisany a kąt między styczną i cięciwą
Zbliżaj punkt B do punktu A. Czy coś się zmienia? Umieść punkt B w punkcie A zaś C tak, by cięciwa BC była średnicą okręgu. Co zauważasz tym razem? Czy coś się zmieni, gdy poruszasz punktem A? Powtórz ponownie czynność w sytuacji, gdy punkt A znajdzie się na tym łuku BC, na którym oparty jest wypukły kąt środkowy BSC.

28 Kąt wpisany a kąt między styczną i cięciwą
Narysuj styczną k w punkcie C i zmierz tym razem drugi kąt, jaki tworzy ona z cięciwą BC. Co dostrzegasz? Podsumuj jeszcze raz wszystkie dostrzeżone fakty, sformułuj w postaci twierdzenia i udowodnij je. W dowodzie skorzystaj z twierdzenia o kącie środkowym i wpisanym opartych na tym samym łuku. Zauważ też, że kąt między styczną i cięciwą to albo różnica kąta prostego i kąta SBC (lub SCB), albo ich suma.

29 A OTO TWIERDZENIA: DOWÓD
Miara kąta zawartego pomiędzy styczną do okręgu, poprowadzoną przez wierzchołek trójkąta wpisanego w koło, a bokiem tego trójkąta jest równa mierze kąta wewnętrznego trójkąta, leżącego naprzeciw tego boku. DOWÓD

30 A OTO TWIERDZENIA: DOWÓD
Kwadrat odległości dowolnego punktu okręgu od jego cięciwy jest równy iloczynowi jego odległości od stycznych do okręgu w punktach będących końcami wybranej cięciwy. DOWÓD

31 CZTERY KONSTRUKCJE STYCZNEJ DO OKRĘGU
LEKCJA 2 CZTERY KONSTRUKCJE STYCZNEJ DO OKRĘGU

32 Narysuj okrąg o(O,r) i punkt P na zewnątrz niego.
KONSTRUKCJA STYCZNEJ DO OKRĘGU - I Wiesz już z gimnazjum, że styczna do okręgu tworzy z promieniem tego okręgu poprowadzonym do punktu styczności kąt prosty. Narysuj okrąg o(O,r) i punkt P na zewnątrz niego. Wiesz już, że przez punkt leżący poza okręgiem można poprowadzić dwie styczne. Niech jednym z poszukiwanych punktów styczności będzie punkt Q. Skoro kąt OQP ma być kątem prostym, to Twoje zadanie polega na skonstruowaniu trójkąta prostokątnego OPQ. Jak to zrobić?

33 Wiemy, że odcinek OP ma być przeciwprostokątną tego trójkąta.
Konstrukcja stycznej do okręgu (I) Wiemy, że odcinek OP ma być przeciwprostokątną tego trójkąta. Przypomnijmy sobie, gdzie leży trzeci wierzchołek trójkąta prostokątnego w którym OP jest przeciwprostokątną? Oczywiście, jeśli pamiętamy twierdzenie o kącie środkowym i wpisanym w kole, to wiemy, że jeśli średnica koła jest podstawą trójkąta, a trzeci wierzchołek należy do okręgu, to taki trójkąt jest zawsze prostokątny, a kąt prosty leży przy tym wierzchołku. Utwórz więc okrąg o średnicy OP. Gdzie jest poszukiwany punkt Q? Opisz dokładnie całą konstrukcję.

34 Narysuj dowolny okrąg o(O,r) i punkt P leżący na zewnątrz niego.
KONSTRUKCJA STYCZNEJ DO OKRĘGU - II Narysuj dowolny okrąg o(O,r) i punkt P leżący na zewnątrz niego. Twoim zadaniem jest skonstruowanie prostej stycznej do okręgu przechodzącej przez punkt P. Zacznij nietypowo: narysuj odcinek OP. Utworzony odcinek przecina okrąg w pewnym punkcie – oznacz go jako M. Przez punkt M poprowadź prostą m prostopadłą do odcinka OP. Prosta ta jest styczną do okręgu, a więc częściowo spełnia warunek zadania. Nie przechodzi ona jednak przez punkt P. Zgodzisz się jednak z faktem, że na tej prostej można wskazać taki punkt P’, że jego odległość od środka okręgu jest równa odległości OP? Co musisz zrobić, by znaleźć punkt P’?

35 Konstrukcja stycznej do okręgu (II)
Zauważ, że skoro OP’ = OP więc wystarczy wykreślić okrąg o środku w punkcie O i promieniu OP. Punkt przecięcia tego okręgu z prostą m to poszukiwany punkt P’. Co... są dwa takie punkty? Wybierz jeden z nich. Zwróć uwagę na trójkąt OP’M. Utwórz go. Powtórz jeszcze raz całe rozumowanie, spróbuj opisać i uzasadnić konstrukcję.

36 Konstrukcja stycznej do okręgu (II)
Jeśli potrafiłbyś obrócić go tak, by P’ znalazł się w punkcie P, wówczas prosta m zawierająca bok tego trójkąta byłaby poszukiwaną przez Ciebie styczną do okręgu poprowadzoną przez punkt P. W jaki sposób to powinieneś zrobić? Trójkąt OP’M po obrocie zajmie pozycję trójkąta OPQ, gdzie Q jest poszukiwanym punktem styczności. Zatem, OP = OP’, OQ = OM = r, zaś PQ=P’M. Którego z tych odcinków jeszcze nie utworzyłeś? Narysuj go.

37 Niech jednym z poszukiwanych punktów styczności będzie punkt B
KONSTRUKCJA STYCZNEJ DO OKRĘGU - III Niech jednym z poszukiwanych punktów styczności będzie punkt B Zauważ, że jeśli trójkąt OPB ma przy wierzchołku B kąt prosty, to po przekształceniu go w symetrii osiowej względem prostej BP otrzymasz trójkąt BPR również prostokątny. Oba trójkąty dają w sumie jeden trójkąt równoramienny BPR. Czy potrafimy go skonstruować?

38 Konstrukcja stycznej do okręgu (III)
Zauważmy, że trójkąt OPR jest równoramienny, więc punkt R leży na okręgu o(P,OP). Ponadto OB = BR, wobec tego punkt R należy również do okręgu o środku O i promieniu OP. Tworząc więc oba te okręgi znajdziemy punkt R.A jak znaleźć punkt B? To już chyba jest proste. Opisz tę konstrukcję:

39 Narysuj dowolny okrąg o(O,r) oraz dowolny punkt P leżący poza nim.
KONSTRUKCJA STEINERA STYCZNEJ DO OKRĘGU - IV Narysuj dowolny okrąg o(O,r) oraz dowolny punkt P leżący poza nim. Na okręgu zaznacz dwa różne punkty A i B. Poprowadź proste AP i BP Sieczna AP przecina okrąg w jeszcze jednym punkcie – oznacz go jako K. Podobnie literą L oznacz drugi punkt wspólny siecznej BP z okręgiem. Utwórz odcinki AL i BK. Czy te odcinki zawsze przecinają się? Znajdź ich punkt wspólny i oznacz go literą M. Czy punkt M może leżeć na okręgu? Jeżeli tak, to kiedy? Zmieniaj położenie punktów A i B na okręgu i obserwuj, jaki ślad pozostawia punkt M?

40 Konstrukcja stycznej do okręgu (IV)
Poprowadź prostą OP. Jakie jest jej położenie względem śladu punktu M otrzymanego podczas zmiany położenia punktu A lub B na okręgu? Poprowadź prostą prostopadłą do prostej OP przechodzącą przez punkt M. Niech S1 i S2 będą punktami przecięcia się tej prostej z okręgiem o(O,r). Czy położenie punktów S1 i S2 zmienia się podczas poruszania punktem A lub B? Czy zmiana położenia punktu P ma wpływ na położenie punktów S1 i S2? Czym są punkty S1 i S2?

41 Konstrukcja stycznej do okręgu (IV)
Utwórz proste AB i KL. Czy przecinają się one ze sobą? Czy zawsze? Znajdź punkt przecięcia tych prostych i oznacz go jako W. Poruszaj punktami A i B po okręgu i obserwuj, jaki ślad pozostawia punkt W. Porównaj ślad punktu W ze śladem punktu M. Co dostrzegasz?

42 Konstrukcja stycznej do okręgu (IV)
Czy potrafisz wyznaczyć krzywą, po której poruszają się punkty M i W w trakcie zmiany położenia punktów A lub B? Skonstruuj ją. W jakich punktach krzywa ta przecina okrąg? Czy są to istotne dla Ciebie punkty? Sformułuj odkryte twierdzenie i spróbuj je wykorzystać do konstrukcji stycznej do okręgu z punktu leżącego poza nim. Powtórz opisaną konstrukcję zastępując okrąg elipsą. Jacob Steiner ( ) – matematyk szwajcarski był pierwszym, który wykazał, że każdą konstrukcję można wykonać za pomocą jedynie linijki nie używając cyrkla. Konstrukcja stycznej do okręgu jest przykładem takiej konstrukcji. Można sprawdzić, że odnosi się ona również do elipsy.

43 A OTO TWIERDZENIA: Jeżeli przez punkt P leżący na zewnątrz okręgu poprowadzimy dwie sieczne przecinające go w czterech punktach, to przekątne czworokąta o wierzchołkach będących tymi punktami przecinają się w punkcie, który w trakcie poruszania jedną z siecznych wykreśli prostą, przecinającą okrąg w punktach będących punktami styczności prostych stycznych poprowadzonych z punktu P. Tę samą prostą wykreślają również te przedłużenia boków czworokąta, do których nie należy punkt P. Punkt P nazywamy biegunem, a prostą - biegunową punktu P dla danego okręgu.

44 LEKCJA 3 STYCZNE I SIECZNE

45 Dane są dwa okręgi o(A,a) i o(B,b). Przyjmijmy, że a>b
STYCZNE DO DWÓCH OKRĘGÓW Dane są dwa okręgi o(A,a) i o(B,b). Przyjmijmy, że a>b Jak skonstruować wspólną styczną do tych okręgów? Ile jest takich stycznych? Przeprowadź analizę tej poszukiwanej konstrukcji. W tym celu naszkicuj na kartce dwa okręgi i styczną wspólną do nich. Niech punkt P będzie punktem styczności okręgu o dłuższym promieniu zaś Q o krótszym.

46 Konstrukcja stycznej do dwóch okręgów
Zauważ, że gdy wykreślisz okrąg o środku w punkcie A i promieniu a-b, wówczas styczna KB do tego okręgu wystawiona z punktu B będzie równoległa do poszukiwanej stycznej. To daje pomysł na konstrukcje stycznej do dwóch okręgów.

47 Konstrukcja stycznej do dwóch okręgów
Oto animacja ilustrująca krok po kroku konstrukcję stycznej do dwóch okręgów.

48 Konstrukcja stycznej do dwóch okręgów
Jeśli konstrukcja w postaci animacji jest dla Ciebie niezrozumiała, obejrzyj film opisujący tę konstrukcję.

49 Konstrukcja stycznej do dwóch okręgów
Zauważ, że styczna, którą obejrzałeś na filmie nie jest jedyną styczną do tych dwóch okręgów. Jest to tzw. styczna zewnętrzna. Istnieją jeszcze trzy styczne. Jedna z nich, również „zewnętrzna”, ale Istnieją jeszcze dwie „wewnętrzne”. Spróbuj samodzielnie skonstruować te dwie styczne wewnętrzne. Niech wskazówką będzie fakt, że w przypadku stycznej zewnętrznej do dwóch okręgów w poprzedniej konstrukcji na filmie tworzyłeś okrąg, którego promień był różnicą dwóch promieni. Może teraz wymyślisz coś podobnego?

50 Konstrukcja stycznej do dwóch okręgów
Gdyby jednak nie przyszedł Ci żaden pomysł do głowy, spojrzyj na poniższą konstrukcję. Wykonaj ją samodzielnie w swoim zeszycie.

51 LEKCJA 4 POLA CZĘŚCI KÓŁ

52 Niech C będzie jednym z końców średnicy prostopadłej do średnicy AB
POLE FIGURY SERCOWEJ Niech C będzie jednym z końców średnicy prostopadłej do średnicy AB okręgu o(S,r). Na podstawie znanego Ci twierdzenia wiesz, że trójkąt ABC jest prostokątny. Narysuj okręgi, których średnicami są przyprostokątne trójkąta ABC. Niech K i L będą punktami okręgów nie należącymi do trójkąta ABC. Wykreśl łuk o promieniu AC i środku w punkcie C. Obszar zawarty między tym łukiem a łukami AKC i BLC ma kształt przypominający serce. Oblicz pole tego obszaru i pole koła k(S,r), przyjmując wartość r jako daną. Co dostrzegasz? Czy odkryta przez Ciebie własność zmieni się, gdy punkt C nie będzie końcem średnicy prostopadłej do AB, lecz innym punktem okręgu o(S,r)?

53 Opisz dokładnie konstrukcję figury przedstawionej na rysunku obok.
Pole figury sercowej Opisz dokładnie konstrukcję figury przedstawionej na rysunku obok. Sprawdź, że pole figury „sercowej” jest równe ……

54 Jeśli średnice koła podzielimy punktem P na dwa odcinki i na ich bazie
POLE ARBELOSA Jeśli średnice koła podzielimy punktem P na dwa odcinki i na ich bazie jako średnicy utworzymy półkola, to figura ograniczona tymi półkolami i półkolem o średnicy AB nosi nazwę arbelosa.

55 Uruchom plik GeoGebry o nazwie arbelos.ggb i poruszaj w nim punktem P.
Pole arbelosa Arbelos oznaczał kiedyś w Grecji nóż do wycinania skóry do butów i z uwagi na podobny kształt tego noża, nazwano tę figurę arbelosem. Uruchom plik GeoGebry o nazwie arbelos.ggb i poruszaj w nim punktem P. Otrzymasz różne rodzaje arbelosu. Okazuje się że zawsze jego pole jest równe polu koła o promieniu PR. Koło to oczywiście zmienia swoje rozmiary w trakcie poruszania punktem P. Twoim zadaniem będzie uzasadnienie tego faktu.

56 KSIĘŻYCE HIPOKRATESA

57 Przypatrz się uważnie rysunkowi z poprzedniej strony i opisz,
Księżyce Hipokratesa Przypatrz się uważnie rysunkowi z poprzedniej strony i opisz, w jaki sposób powstała ta konstrukcja. Oblicz pola trójkąta ABC a następnie pole dwóch księżyców Hipokratesa. Co zauważyłeś? Sformułuj samodzielnie odkryte twierdzenie.

58 LUNULA I JEJ POLE Ta niecodzienna figura powstała na bazie kwadratu i jego przekątnej. Podobnie jak w zadaniu poprzednim opisz konstrukcje lunuli i wykonaj Ja w swoim zeszycie. Oblicz pole połowy kwadratu oraz pole księżyca lunuli. Co zauważyłeś? Sformułuj odkryte twierdzenie.

59 Sformułuj odkryte twierdzenie.
Pole lunuli To jeszcze jedna lunula, tym razem zbudowana na bazie kwadratu, Opisz sposób, w jaki powstała. Pomyśl, co powinieneś obliczyć, by dostrzec interesującą zależność. Sformułuj odkryte twierdzenie.

60 SALINON I JEGO POLE To już bardziej skomplikowana figura – możesz poeksperymentować z nią. Wywołując plik GeoGebry. Samodzielnie odkryj sposób jej konstrukcji i odpowiednie własności rachunkowe.

61 YIN - YANG Figura zamieszczona na kolejnym slajdzie jest kołem składającym się z kilkunastu przystających części. Każda z nich powstała przez utworzenie odpowiednich łuków. Figura ta nosi nazwę YIN-YANG, co w języku chińskim oznacza Dwa przeciwstawne bieguny (np., ciepło - zimno, płeć męska - płeć żeńska). Korea Południowa przyjęła znak Yin Yang jako symbol Koreańskich Linii Lotniczych. Twoim zadaniem będzie uzasadnienie, że przy każdym podziale łukami tego koła, pola otrzymanych części są równe. Na kolejnym slajdzie zobaczysz animację tworzącą różne ilości przystających segmentów koła podzielone tak, jak Yin Yang.

62 Pole Ying-Yang

63 W konstrukcji tej znajduje się suwak, którym możesz zmieniać liczbę
Pole Ying-Yang Konstrukcja YIN –YANG jest dla Ciebie przygotowana w GeoGebrze pod taką samą nazwą. W konstrukcji tej znajduje się suwak, którym możesz zmieniać liczbę segmentów koła, na które zostało ono podzielone od 1 do 12. Możesz również zmienić ten zakres. Wejdź we własności suwaka i zmień wartość początkowa i końcową według własnego życzenia.

64 ODKRYWANIE GEOMETRII KÓŁ
Agnieszka Rogalska