Dlaczego matematyka staje się coraz mniej zrozumiała dla uczniów nie tylko w gimnazjum, czyli  mity i fakty na temat rozwijania myślenia matematycznego.

Prezentacja na temat: "Dlaczego matematyka staje się coraz mniej zrozumiała dla uczniów nie tylko w gimnazjum, czyli  mity i fakty na temat rozwijania myślenia matematycznego."— Zapis prezentacji:

1 Dlaczego matematyka staje się coraz mniej zrozumiała dla uczniów nie tylko w gimnazjum, czyli  mity i fakty na temat rozwijania myślenia matematycznego.

2 mity i fakty o rozwijaniu myślenia matematycznego
Inspiracja … Pozwólmy dzieciom działać mity i fakty o rozwijaniu myślenia matematycznego Opracowano na podstawie pracy: p. Aliny Kalinowskiej Wydawca: Centralna Komisja Egzaminacyjna

3 Amerykański psycholog Jerome Bruner wniósł znaczący wkład w naszą wiedzę o rozwoju poznawczym. Jego zdaniem w nabywaniu dojrzałej formy procesów myślenia, dzieci rozwijają trzy główne sposoby wewnętrznego reprezentowania świata:        •    enaktywny        •    ikoniczny        •    symboliczny

4 STRATEGIE ciąg decyzji w zakresie zdobywania, przechowywania i wykorzystywania informacji

5 Strategia asocjacyjna nakazuje różne sposoby organizacji przyswajania przez uczniów gotowej wiedzy. Wykorzystuje przede wszystkim metody podające. Zdobywane w ten sposób wiadomości angażują pamięć, są również niezbędne do rozumienia pojęć i rozwiązywania problemów (werbalizm). Do grupy tej należą metody słowne i częściowo oglądowe.

6 Strategia preferująca stosowanie metod poszukujących, czyli problemowych. Metody te (eksperyment, dramy, giełdy pomysłów) wymagają od uczniów myślenia, aktywności, umożliwiając im tym samym samodzielne dochodzenie do wiedzy przez rozwiązywanie problemów. Obok metody problemowej, do tej grupy metod zalicza się także: gry dydaktyczne, metody symulacyjne, metody zadaniowe.

7 Strategia wykorzystująca metody waloryzacyjne zwane też eksponującymi lub metodami nauczania przez przeżywanie. Sprowadzają się one do takiego organizowania procesu kształcenia lub stwarzania takich sytuacji, w których uczniowie obserwują, odtwarzają, wytwarzają, przeżywają określone wartości o charakterze społecznym, moralnym, estetycznym itp. Wśród tych metod wyróżnia się dalej metody o charakterze impresyjnym: prezentowanie dzieł filmowych, malarstwa, sztuki teatralnej oraz metody o charakterze ekspresyjnym, np. udział uczniów w przedstawieniu szkolnym lub tworzeniu: obrazów, filmów, programów...

8 Strategia uczenia się przez działanie dzieci uczą się projektowania, planowania, doboru narzędzi, posługiwania się nimi, podejmowania decyzji. Metody praktyczne cechuje przewaga aktywności wykonawczej - manualnej. Umiejętności praktyczne polegają na właściwym posługiwaniu się regułami przy wykonywaniu określonych zadań.

9 Według metody czynnościowej
sytuacje dydaktyczne powinniśmy tworzyć w kolejności zgodnej z rozwojem myślenia człowieka, czyli od czynności konkretnych, przez wyobrażone do abstrakcyjnych.

10 poziom czynności abstrakcyjnych reprezentacja symboliczna
matematyzacja interpretacja poziom czynności wyobrażonych reprezentacja ikoniczna schematyzacja konkretyzacja poziom czynności konkretnych reprezentacja enaktywna

11 MITY i FAKTY na temat rozwijania myślenia matematycznego

12 MIT 1 Uczniowie słabo sobie radzą z rozwiązywaniem zadań
tekstowych, bo nie potrafią czytać ze zrozumieniem.

13 Dla każdego zadania oceń, czy przeciętny uczeń:. A) rozumie jego treść
Dla każdego zadania oceń, czy przeciętny uczeń: A) rozumie jego treść? B) potrafi je rozwiązać? Ewa maluje płot. W poniedziałek pomalowała 20% płotu, a we wtorek 75% reszty. Jaka część płotu pozostała jej do pomalowania? W Radorze tumaniło 12 garwolin, a 5 z nich było parnych. Jaką część garwolin stanowiły parne? Pani Bożena ma 346 kwadratowych płytek o boku 12 cm. Jaką długość ma bok największego kwadratu, który można ułożyć z tych płytek, nie dzieląc ich?

14 Rozwiązania:

15 zadania matematycznego
FAKT Rozumienie treści zadania matematycznego musi być połączone z umiejętnością matematyzowania opisanej sytuacji, czyli przełożenia jej na język operacji matematycznych.

16 MIT 2 Jeśli chcemy, aby uczniowie opanowali umiejętność rozwiązywania zadań tekstowych, musimy przerobić z nimi dużą liczbę typowych zadań.

17 Jakie korzyści osiągną uczniowie, rozwiązując kolejno zadania?
Olek miał 1200 złotych. W sklepie wydał 235 złotych. Ile pieniędzy mu zostało? Ala dostała 200 złotych. Kupiła książkę za 48 złotych. Ile pieniędzy jej zostało? Joasia miała 150 złotych. Bratu oddała 37 zł. Ile pieniędzy ma teraz? Janek kupił siostrze prezent za 26 złotych. Zapłacił banknotem 100 zł. Ile reszty otrzymał?

18 FAKT Rozwiązywanie wielu typowych zadań sprawia, że uczniowie przyzwyczajają się do czytania tylko kluczowych słów. Konieczne jest zadawanie pytań pobudzających do myślenia.

19 Przykłady pytań pobudzających do myślenia.
Na pierwszej półce stoi 39 książek, a na drugiej 15. O ile książek więcej jest na pierwszej półce? Na pierwszej półce stoi 39 książek, a na drugiej o 15 książek więcej. Ile książek jest na drugiej półce? Na pierwszej półce stoi 39 książek, o 15 książek więcej niż na drugiej. Ile książek jest na drugiej półce? Na pierwszej półce stoi o 15 książek więcej niż na drugiej. Na obu półkach jest 39 książek razem. Ile książek jest na każdej półce?

20 MIT 3 Na lekcjach nie ma czasu na zajmowanie się problemami matematycznymi, czyli zadaniami nietypowymi.

21 Jakie korzyści mogą osiągnąć uczniowie, rozwiązując zadania?
Z ośmiokątów o boku długości 1 budowano kolejne figury jak na rysunku. Dla każdej kolejnej figury napisz wyrażenie arytmetyczne opisujące jej obwód. Następnie podaj wyrażenia algebraiczne opisujące obwód takiej figury zbudowanej z 10 oraz z n ośmiokątów. Liczba ośmiokątów: Obwód figury: … … … …

22 Wyobraź sobie, że układasz rzędami guziki żółte (ż) i białe (b) według reguły przedstawionej na schemacie rząd ż 2. rząd b ż b 3. rząd ż b ż b ż 4. rząd b ż b ż b ż b 5. rząd ż b ż b ż b ż b ż 6. rząd b ż b ż b ż b ż b ż b 7. rząd ż b ż b ż b ż b ż b ż b ż W kolejnym rzędzie najpierw układasz guziki tak, jak w poprzednim rzędzie, a potem dokładasz na obu końcach po jednym guziku, dbając o to, by sąsiednie guziki w rzędzie różniły się kolorami. Uzupełnij zdania. A. W 6. rzędzie jest …. guzików, w tym …. białych i ….. żółtych. B. W 7. rzędzie będzie …. guzików, w tym …. białych i ….. żółtych. C. W 100. rzędzie będzie ….. białych i ….. żółtych guzików. D. W 101. rzędzie będzie ….. białych i ….. żółtych guzików. E. Jeśli n jest liczbą parzystą, to w rzędzie o numerze n będzie ….. białych i ….. żółtych guzików.

23 Jakie korzyści mogą osiągnąć uczniowie, rozwiązując zadania-problemy?
Kod dostępu do komputera Andrzeja złożony jest z czterech kolejnych wielokrotności liczby 7, ustawionych od najmniejszej do największej. Suma tych wielokrotności wynosi Znajdź liczby, z których złożony jest ten kod. Zapisz swoje rozumowanie. Jakie korzyści mogą osiągnąć uczniowie, rozwiązując zadania-problemy? rozwijają myślenie koncepcyjne, samodzielnie konstruują model rozwiązania, budują intuicję oraz reprezentację pojęć matematycznych.

24 FAKT Zadania-problemy powinny stanowić materiał dla wszystkich uczniów. Rozwiązywanie zadań-problemowych ma znaczenie nie tyle w sensie poprawnej odpowiedzi, ile wspierania samodzielności poznawczej ucznia.

25 Matematyka nie nadaje się do pracy w małych zespołach.
MIT 4 Matematyka nie nadaje się do pracy w małych zespołach.

26 Dlaczego nie ma sensu rozwiązywanie w grupie zamieszczonych poniżej zadań?
Pięcioosobowa rodzina państwa Kier zajmują mieszkanie o powierzchni 52 m2, a trzyosobowa rodzina państwa Pik – mieszkanie o powierzchni 69 m2. O ile więcej metrów kwadratowych przypada na każdego członka rodziny Pik niż rodziny Kier? Sok rozlano do ośmiu butelek. Okazało się, że w trzech większych butelkach jest tyle samo soku, co w pięciu mniejszych, przy czym w każdej mniejszej butelce jest o 0,5 litra soku mniej niż w każdej większej. Ile litrów soku jest łącznie we wszystkich butelkach?

27 Zadania typowe nie nadają się do rozwiązywania w grupie, bo:
umożliwiają często natychmiastową identyfikację problemu, często wystarczy sprawność rachunkowa, uczniowie zdolniejsi przejmują inicjatywę w grupie, uczniowie mniej zdolni wycofują się z aktywności,

28 Cechy zadań, które nadają się do rozwiązywania w grupie:
mogą stanowić otwarte problemy, czyli nie mają jednoznacznego rozwiązania, aktywizują wszystkich członków grupy, inspirują pomysły i skłaniają do ich weryfikowania, wywołują zainteresowanie uczniów, umożliwiają wyrażanie własnego zdania. MbG_Senior_EW_2013_zad_2013_01_29.pdf

29 FAKT Praca w grupie jest koniecznym doświadczeniem poznawczym stymulującym wszystkich uczniów. Powinna generować różne pomysły, inspirować stawianie hipotez, rozwijać krytyczne myślenie, pobudzać do działania.

30 MIT 5 Uczeń najlepiej nauczy się matematyki, gdy uważnie słucha nauczyciela oraz powtarza jego słowa i czynności.

31 Nauczyciel często podaje gotowy „przepis” postępowania.
Przykłady takich zapamiętanych przez uczniów formuł: Cztery podstawowe działania wykonujemy w kolejności: mnożenie, dzielenie, dodawanie, odejmowanie. Aby rozwiązać równanie, kolejno: likwidujemy nawiasy, pozbywamy się ułamków, przenosimy wyrazy z niewiadomą na lewą stronę, pozostałe na prawą, redukujemy wyrazy podobne, dzielimy obustronnie … Czy ich stosowanie umożliwi uczniom poprawnie rozwiązać poniższe zadania? Wykonaj działania: 2) Rozwiąż równanie: = 0,9 a) 4,8 : 0,25 ∙ 4, b) 4,18 – 2,3 + 0,7

32 FAKT Uczenie się matematyki to nie wkuwanie algorytmów, ale badanie, przeprowadzanie rozumowania, poszukiwanie strategii rozwiązania …

33 Anegdota Znakomity fizyk amerykański R. Feynman, laureat Nagrody Nobla, prowadząc wykład wśród studentów brazylijskich w latach pięćdziesiątych, próbował wskazać źródła ich nieadekwatnej wiedzy. „Zauważyłem jeszcze jedną rzecz – ciągnąłem dalej. – Na waszych oczach otworzę tę książkę w dowolnym miejscu i pokażę wam o co mi chodzi – a chodzi o to, że to nie jest przyrodoznawstwo, tylko wkuwanie na pamięć, calutka książka. Uwaga, otwieram na chybił-trafił {…} i zaczynam czytać: „Tryboluminescencja to światło emitowane przy kruszeniu kryształów …” – Czy to jest przyrodoznawstwo – spytałem – Nie! Powiedziane jest tylko, co jedno słowo oznacza przełożone na inne słowa. Nic nie jest powiedziane o przyrodzie – jakie kryształy, kiedy je kruszyć, wytwarzają światło, dlaczego wytwarzają światło. Czy zdarzyło się, żeby jakiś student poszedł do domu i spróbował uzyskać światło tryboluminescencji? Nie wie jak. – Gdybyście natomiast napisali: „Jeśli weźmiesz kostkę cukru i skruszysz ją w ciemnościach za pomocą kombinerek, zobaczysz niebieskawy błysk. Niektóre inne kryształy też tak się zachowują. Nikt nie wie, dlaczego. Zjawisko to nazywamy tryboluminescencją.” Wtedy ktoś pójdzie do domu i spróbuje. Wtedy mamy doświadczanie przyrody..”

34 Uczeń umie tylko to, co było przerabiane w szkole.
MIT 6 Uczeń umie tylko to, co było przerabiane w szkole.

35 Dokonaj analizy poniższych zadań zamieszczonych w teście badającym umiejętności uczniów klasy VII w 1998 roku. Spróbuj uzasadnić podane w nawiasie wyniki.

36 FAKT Matematyczna „przedwiedza” ucznia jest najczęściej pomijana i niedostrzegana nie tylko przez nauczycieli, ale także przez uczniów, którzy nauczyli się, że wiedzieć mogą tylko to, co już było na lekcji.

37 Zadania na „szóstkę” nie są dla uczniów słabych.
MIT 7 Zadania na „szóstkę” nie są dla uczniów słabych.

38 Na podstawie przykładowych zadań na „szóstkę” podaj argumenty, że powinni je rozwiązywać tylko uczniowie najlepsi.

39 FAKT Zadania „na szóstkę” wymagają często tworzenia własnych procedur, odpowiadających indywidualnemu poziomowi rozumienia. W tym kontekście zadania „na szóstkę” powinny stanowić propozycję edukacyjną dla wszystkich uczniów.

40 Znaczenie zadań typu problemowego dla rozwoju myślenia uczniów pokazują wyniki eksperymentu w klasie trzeciej szkoły podstawowej. W klasie eksperymentalnej (E) uczniowie przez jedną godzinę w tygodniu tworzyli osobiste strategie rozwiązywania zadań problemowych, a w klasie kontrolnej (K) edukacja była prowadzona standardowo. Eksperyment trwał 6 miesięcy. Przed eksperymentem i po jego zakończeniu uczniowie zostali zbadani testem składającym się z 10 zadań problemowych i z 8 zadań standardowych. W teście wstępnym uczniowie obu klas prezentowali podobny poziom, klasa E uzyskała średnio 6,25 pkt, a klasa K – 7,40. W teście końcowym średni wynik w klasie E to 12,14, w klasie K – 9,33. W klasie E wszyscy uczniowie słabsi poprawili w sposób istotny swój wynik.

41 MIT 8 Przeprowadzanie rozumowania na konkretach to nie jest prawdziwa matematyka.

42 Dla każdego zadania podaj możliwe sposoby jego rozwiązania.
Trzy grupy rybaków złowiły razem 113 ryb. Każdy rybak z pierwszej grupy złowił 13 ryb, z drugiej – 5 ryb, a z trzeciej – 4 ryby. Wiedząc, że wszystkich rybaków było szesnastu, oblicz, ilu rybaków było w każdej z grup? Wiek pewnego obywatela w roku 1887 równał się sumie cyfr roku jego urodzenia. Ile miał on lat? Marek i Andrzej porównali swoje oszczędności, po czym Marek stwierdził: Razem mamy 2400 złotych. Gdyby moje oszczędności wzrosły o 20%, a Twoje zmalały o 20%, mielibyśmy po tyle samo”. Jaką część oszczędności Andrzeja stanowi kwota, jaką posiada Marek? W pewnej hurtowni możesz otrzymać rabat w wysokości 20%, ale musisz zapłacić podatek konsumpcyjny w wysokości 15%. Czy wolisz, żeby najpierw obliczono rabat, a później podatek, czy odwrotnie?

43 FAKT Rozwój poznawczy polega na tworzeniu reprezentacji i coraz ekonomiczniejszych strategii postępowania. W umyśle ucznia tworzą się reprezentacje w kolejności: enaktywna, ikoniczna i symboliczna. Nauczyciel powinien zaakceptować potrzebę działania na konkretach. Brak takiej zgody wydłuży proces rozwijania myślenia lub go nawet zahamuje.

44 MIT 9 Uczniowie w gimnazjum nie umieją jeszcze argumentować.

45 Oceń, czy uzasadnienie w przykładach poniżej może przedstawić przeciętny uczeń gimnazjum? Jakie elementy wiedzy matematycznej są niezbędne do wykonania danego zadania.

46 FAKT Umiejętność argumentowania to kompetencja istotna w życiu jednostki, a w przypadku rozumienia pojęć matematycznych ma szczególne znaczenie. Uczniowskie uzasadnienia mogą stanowić materiał dla nauczyciela do rozpoznawania, jak uczeń rozumuje. Sposób argumentowania odsłania jakość jego reprezentacji matematycznych i poziom myślenia.

47 PODSUMOWANIE

48 STRATEGIE UCZENIA SIĘ MATEMATYKI ujawnione przez polskich uczniów
opanować jak najwięcej materiału pamięciowo (60% uczniów, przy średniej OECD 35%) OECD - Organizacja Współpracy Gospodarczej i Rozwoju organizacja międzyrządowa z siedzibą w Paryżu, w Polsce prace koordynuje Departament Strategii przy Ministerstwie Nauki i Szkolnictwa Wyższego wyćwiczyć przykłady podobne do podanych na lekcji (70% uczniów, przy średniej OECD 65%) wypracować nowe sposoby rozwiązania problemu (mniej niż 50% uczniów, przy średniej OECD 68%)

49 Warto wiedzieć, że uczeń, który nauczy się radzić sobie
w sytuacjach nowych poznawczo (rozwiązywać problemy), lepiej będzie opanowywał algorytmy, próbując je rozumieć, a nie jedynie zapamiętać.

50 Dziękuję za uwagę

51 Jerome Bruner Jeden z głównych przedstawicieli współczesnej psychologii poznania. Autor oryginalnych koncepcji dydaktycznych, które nawiązując do wyników badań Brunera nad procesami poznawczymi i rozwojem poznawczym, stanowią próbę zarysowania całościowej, spójnej teorii nauczania. W przetłumaczonej na liczne języki pracy Proces kształcenia przedstawił dynamiczną koncepcję edukacji, podkreślając rolę i warunki pobudzania działalności poznawczej dzieci i młodzieży oraz rozwoju pozytywnej motywacji. powrót

52   Enaktywny – myślenie opiera się całkowicie na czynnościach motorycznych i nie wykorzystuje ani wyobraźni, ani słów. Dla dziecka bawiącego się zabawką, ruchy wykonywane w trakcie zabawy stanowią jego wewnętrzną reprezentacje zabawki. Reprezentacje enaktywne funkcjonują w ciągu całego życia i przejawiają się w wielu czynnościach motorycznych (np. w rzucaniu piłką, pływaniu, jeżdżeniu na rowerze), których uczymy się przez praktykę, które nie są wewnętrznie reprezentowane przez słowa lub obrazy. powrót

53 Ikoniczny – dziecko staje się zdolne do reprezentowania otoczenia poprzez obrazy umysłowe. Obrazy te mogą być wzrokowe, słuchowe, węchowe lub dotykowe. Dostarczają środków, dzięki którym dziecko może wytworzyć i rozwinąć, obraz otoczenia, nawet, jeśli nie potrafi opisać go słowami. powrót

54 Symboliczny – dziecko staje się zdolne do reprezentowania świata za pomocą języka, a później za pomocą innych systemów symbolicznych, takich jak liczby i muzyka. Reprezentacje symboliczne umożliwiają dziecku posługiwanie się znacznie bardziej plastycznymi i abstrakcyjnymi formami myślenia, co z kolei pozwala nie tylko reprezentować rzeczywistość, lecz również manipulować nią i przekształcać. powrót

55 GRUPY METOD NAUCZANIA:
metody oparte na słowie, obserwacja i pomiar, działalność praktyczna, metody podające, poszukujące, eksponujące, praktyczne - czynnościowe, PODAJĄCE - uczenie się przez przyswajanie, POSZUKUJĄCE - uczenie się przez odkrywanie, EKSPONUJĄCE - uczenie się przez przeżywanie, PRAKTYCZNE - uczenie się przez działanie,

56 STADIUM: - przedoperacyjne - etap wzrokowy
Reprezentacja enaktywna manipulowanie przedmiotami, Reprezentacja ikoniczna czynności na schematach i rysunkach, Reprezentacja symboliczna nazywanie przedmiotów: słowa, kody, proste symbole;

57 STADIUM: operacji konkretnych – etap opisowy Reprezentacja enaktywna działania na zbiorach powstałych w wyniku klasyfikacji, porównywanie własności elementów zbiorów, wyróżnianie podzbiorów, porządkowanie, klasyfikacja Reprezentacja ikoniczna ustalanie odpowiedniości między własnościami obiektu rzeczywistego i schematycznego Reprezentacja symboliczna opis słowny istotnych cech pojęcia i związków między składowymi

58 STADIUM: operacji formalnych - etap logiczny Reprezentacja enaktywna operatywne wykorzystywanie opisów definicyjnych wniosków ogólnych, porównywanie własności, Reprezentacja ikoniczna obrazowe, schematyczne przedstawienie związków między definicjami i twierdzeniami, Reprezentacja symboliczna konstruowanie formalnych definicji, badanie równoważności.